泊松分布的概率怎么算？公式 P(X=k) = e⁻λ·λᵏ/k! 中的参数是什么意思？

公式是 P(X = k) = e⁻λ × λᵏ ÷ k!，三部分各有分工：λᵏ 与 k! 一起刻画「在这段区间里凑齐 k 次」的组合方式，e⁻λ 是把总概率拉回到 1 的归一化因子（把 k = 0, 1, 2, … 的所有项加起来正好等于 1）。举一个能手算的例子：λ = 2.5、k = 3，λ³ = 15.625，3! = 6，15.625 ÷ 6 = 2.6041666667，e⁻²·⁵ = 0.0820849986，两者相乘得 P(X = 3) = 0.2137630172，约 21.38%。再看 k = 0 的特例：λ⁰ = 1、0! = 1，所以 P(X = 0) = e⁻λ，λ = 2.5 时就是 0.0820849986。累积概率则是把对应的那些项加起来，例如 P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.7575761331。注意 λ 与 k 必须按同一个观察区间来数，量纲都是「次」。

泊松分布恰好、至多、至少 k 次的概率有什么区别？

它们是五个不同的量，差别全在端点和方向上。以 λ = 2.5、k = 3 为例：恰好 3 次 P(X = 3) = 0.2137630172，只数 k = 3 这一项；至多 3 次 P(X ≤ 3) = 0.7575761331，把 0、1、2、3 四项全加起来，含 3；少于 3 次 P(X 3) = 0.2424238669，从 4 开始加，不含 3。可以验算：P(X ≤ 3) + P(X > 3) = 1，P(X ≤ 3) − P(X < 3) = P(X = 3)。中文里最容易错的就是「至少」和「超过」：「至少 3 次」含 3，「超过 3 次」「多于 3 次」不含 3，一字之差结果从 0.456 变成 0.242。备货、排班这类问题问的是「够不够用」，要看至多；容量、告警这类问题问的是「会不会爆」，要看至少或超过。本页把五个量同屏给出，每个标签都写明含不含端点。

泊松分布的 λ 怎么确定？每小时平均 3 次，计算 2 小时应填多少？

填 6，不是 3。λ 的定义是「你所选的那一个观察区间内平均发生多少次」，所以拿到的如果是发生率（每小时几次、每千件几个），必须先乘以区间长度：每小时 3 次 × 2 小时 = 6；每平方米 0.4 个疵点 × 5 平方米 = 2；每千件 1.5 个不良 × 0.4 千件 = 0.6。本页刻意不做这个换算，也不提供时长输入框——把乘法留在你自己手里，才不会出现「工具按小时算、你按天问」的错位。λ 的数值本身通常取历史数据的样本均值：过去 60 天共发生 90 次，平均每天 1.5 次，看一天就填 1.5。三点提醒：一是 λ 可以是小数，事件次数是整数但平均值不必是；二是 λ 在这个区间内要视为恒定，早高峰和凌晨的话务量不是同一个 λ，跨高峰低谷请分段各算一次；三是 λ = 0 表示事件不会发生，此时 X 恒为 0，所有概率退化成精确的 0 或 1。

泊松分布和二项分布怎么选？什么时候可以用 λ = np 做泊松近似？

看你的问题里有没有一个明确的「试验次数 n」。有 n、每次成败两分且成功概率固定，用二项分布：抽检 100 件、不良率 2%，n = 100、p = 0.02。没有 n，只知道「单位时间 / 单位面积平均发生几次」、事件在区间内可以发生任意多次，用泊松分布：一小时来几个电话、一平方米几个疵点、一场比赛几个进球，这些都数不出「一共试了多少次」。两者的联系是：n 很大而 p 很小时，二项分布 B(n, p) 可以用 λ = np 的泊松分布近似，常用的经验判据是 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05（更保守的取 n ≥ 100 且 np ≤ 10）。上面那个抽检例子 n = 100、p = 0.02 就满足，λ = 2，恰好 2 件不良按泊松算是 0.2706705665，按二项精确算是 0.2734315393，差约 0.003，工程上可接受。判据不满足就别硬近似，直接用二项分布计算器算精确值。还有一条实务上的分辨口径：泊松分布要求方差等于均值，如果你的历史数据方差明显大于均值（过离散），说明发生率本身在波动，泊松分布并不适用，应考虑负二项分布——本页不做这类模型判定，也不做拟合优度检验。

泊松分布的期望和方差为什么都等于 λ？标准差 √λ 表示什么？

E(X) = λ、D(X) = λ、σ = √λ，期望和方差相等是泊松分布区别于其他常见计数分布的签名性质。它可以从二项分布取极限看出来：B(n, p) 的期望是 np、方差是 np(1−p)，令 n → ∞、p → 0 且 np → λ，则方差 np(1−p) → λ(1−0) = λ，与期望重合。直观地说，正因为「试验次数」无穷多而每次概率无穷小，抑制方差的那个 (1−p) 因子退化成了 1。用法上，√λ 给了你一把快速的合理性尺子：λ = 2.5 时 σ ≈ 1.58，绝大多数取值落在 0~7 之间；λ = 20 时 σ ≈ 4.47，k = 0 离均值 4.5 个 σ，概率小到 2.061153622e-9 也就不奇怪了。反过来还能做模型自检：算一下你手上历史数据的样本均值和样本方差，两者接近才说明泊松分布用得上；方差远大于均值（过离散）多半是因为发生率分时段变化，此时先分段再算，不要用一个平均 λ 糊过去。注意这三个数描述的是整条分布，与你当前填的 k 没有关系，换个 k 它们不会变。

Excel 泊松分布函数 POISSON.DIST 的 TRUE 和 FALSE 有什么区别？

第三个参数 cumulative 决定算哪一个量：填 FALSE 得到概率质量函数，也就是「恰好发生 x 次」；填 TRUE 得到从 0 到 x（含 x）的累积概率，也就是本页的「至多 k 次」。微软官方文档给的示例是 x = 2、mean = 5：=POISSON.DIST(2,5,FALSE) 印为 0.084224，=POISSON.DIST(2,5,TRUE) 印为 0.124652；本页在同样输入下给出 0.0842243375 与 0.1246520195，与官方示例一致，只是位数更多。对不上通常是三种情况：一是 TRUE/FALSE 选反了，把「至多」当成了「恰好」；二是 λ 没有按观察区间换算，把每小时的发生率直接当成了两小时的 λ；三是 x 填了小数——官方文档写明「如果 x 不是整数，将被截尾取整」，Excel 会按截断后的整数照算，本页认为静默改写输入比报错更危险，所以直接报错。还有一个显示差异：Excel 单元格默认只显示几位小数，远尾概率容易被显示成 0，本页显示到 10 位小数、极小值改用 10 位有效数字，不会把真实大于 0 的概率印成 0。

泊松分布累计概率显示为 1 就是必然发生吗？

要区分精确等于 1 和显示舍入。本页概率通常显示到 10 位小数，某些接近 1 的累计概率会显示为 1，不能据此认定事件必然发生；应查看对应的互补尾概率，例如“至多 k 次”对应“超过 k 次”。但“至少 0 次”的概率本来就精确等于 1，因为泊松分布的次数不会为负。λ = 0 时次数恒为 0，也是精确值的情形。

泊松分布计算器

泊松分布计算器输入同一观察区间的平均发生次数 λ 和发生次数 k，即可计算恰好、至多、少于、至少、超过 k 次的概率，以及期望、方差与标准差。

平均发生次数 λ

次

一段观察区间内平均发生多少次，可以是小数。要先自己按观察区间乘好：每小时平均来 3 个电话、你看的是 2 小时，就填 6 而不是 3；每平方米平均 0.4 个疵点、看 5 平方米就填 2。本页没有「发生率 × 时长」的换算栏，不会替你识别时长。本页最大支持 10000；更大的 λ 请改用正态近似（均值 λ、标准差 √λ）。

发生次数 k

次

你关心的发生次数，必须是整数：填 2.5 本页直接报错，不像 Excel POISSON.DIST 那样悄悄截尾成 2 再给个答案。k 不受 λ 限制，可以远大于 λ——「平均每天 1 次，某天出 20 次」正是本页要回答的远尾问题。k 必须和 λ 用同一个观察区间。

P(X = 3)　平均 2.5 次的区间里恰好发生 3 次的概率

0.2137630172

某段观察区间内平均发生 2.5 次、且区间内各处发生率相同、彼此独立时，这一个区间里恰好发生 3 次的概率是 0.2137630172；至多 3 次（含 3）的概率是 0.7575761331，至少 3 次（含 3）的概率是 0.4561868841。这条分布的期望与方差都等于 λ = 2.5。

P(X = 3)　恰好 3 次0.2137630172

P(X ≤ 3)　至多 3 次（含 3）0.7575761331

P(X < 3)　少于 3 次（不含 3）0.5438131159

P(X ≥ 3)　至少 3 次（含 3）0.4561868841

P(X > 3)　超过 3 次（不含 3）0.2424238669

分布整体（描述平均 2.5 次这条分布的全貌，与上面填的 k 无关）：

期望 E(X) = λ2.5

方差 D(X) = λ2.5

标准差 σ = √λ1.5811388301

平均发生次数 λ2.5

读结果前先看这几条口径：① λ 与 k 必须属于同一个观察区间（同一段时长、同一件产品、同一块面积），量纲都是「次」。λ 按小时算、k 却按一天数，算出来的概率没有意义。 ② λ 在所选区间内视为恒定。现实中话务量、客流、故障率会分时段变化，早高峰和凌晨不是同一个 λ；跨高峰低谷请分段各算一次，本页不做分时段建模，也不做多个 λ 的对比。 ③ λ = 0 表示事件不会发生，X 恒为 0：此时所有概率都是精确的 0 或 1，方差与标准差为 0。 ④ 四个累积量是四个不同的量，端点已写进标签——「至多 k 次」含 k，「少于 k 次」不含 k，「至少 k 次」含 k，「超过 k 次」不含 k。 ⑤ 概率显示到 10 位小数，非常接近 1 的累积概率会显示成 1——那不是等于 1，只是这个位数看不出差别；要读那个极小的差，请看它互补的另一侧尾概率。小于 0.0001 的概率改用 10 位有效数字显示（如 2.061153622e-9），任何真实大于 0 的概率都不会显示成 0。 ⑥ 期望、方差、标准差描述的是整条分布，与你填的 k 无关，改 k 时这三个数不变。 ⑦ 本页只做泊松分布的正向概率计算，不判断你的数据是不是真的服从泊松分布（不做拟合优度检验），也不做置信区间与「给定概率反求 k」的反查。

怎么用

先把观察区间定下来：泊松分布算的永远是「一个观察区间里发生几次」，所以第一步不是填数，而是先说清这个区间是多长、多大：是 1 小时、1 天，还是 1 件产品、1 平方米、1 场比赛。区间一旦选定，后面的 λ 与 k 都必须按这同一个区间来数——λ 按小时算、k 却按一天数，算出来的概率没有意义。
把平均发生次数换算成本区间的 λ：λ 是这个区间内平均发生多少次，可以是小数。本页没有「发生率 × 时长」的换算栏，需要你自己先乘好：每小时平均来 3 个电话、你要看 2 小时，填 λ = 6；每平方米平均 0.4 个疵点、检的是 5 平方米，填 λ = 2；每 90 分钟一场比赛平均 2.6 个进球，看整场就填 2.6。λ 通常来自历史数据的样本均值，接受 0 到 10000 之间的非负数。
填你关心的发生次数 k：k 是你想问的那个次数，必须是 0 到 100000 之间的整数：填 2.5 本页直接报错，不像 Excel 的 POISSON.DIST 那样悄悄截尾成 2 再给一个看似正常的答案。k 不受 λ 限制，可以远大于 λ——「平均每天 1 次故障，某天出 20 次的概率是多少」正是本页要回答的远尾问题。两栏任一留空都会报错，不会被当作 0。
读大字：恰好 k 次的概率：大字是 P(X = k)，也就是这个区间里不多不少正好发生 k 次的概率。λ = 2.5、k = 3 时它是 0.2137630172，约 21.38%。注意这个数通常不大：即使 k 取在最可能的那一档，概率往往也只有一两成，因为总概率要分摊到 0、1、2、3…这么多个取值上，所以「概率只有 21%」并不代表这个次数反常。
看四个累积方向，端点含不含 k 已写进标签：下面的表格逐条给出至多 k 次（含 k）、少于 k 次（不含 k）、至少 k 次（含 k）、超过 k 次（不含 k），不会只写「累积概率」让你猜。λ = 2.5、k = 3 时分别是 0.7575761331、0.5438131159、0.4561868841、0.2424238669。实务上问「够不够用」看至多，问「会不会爆」看至少或超过。概率显示到 10 位小数，小于 0.0001 时改用 10 位有效数字（如 2.061153622e-9），真实大于 0 的概率不会显示成 0。
用期望、方差、标准差交叉验证：结果区底部单列 E(X) = λ、D(X) = λ、σ = √λ。它们描述整条分布，与你填的 k 无关，改 k 时这三个数不变。用它们可以快速判断结果是否合理：k 离 λ 有三四个 σ 那么远，对应的概率就该很小。λ = 20 时 σ ≈ 4.47，k = 0 离均值约 4.5 个 σ，概率 2.061153622e-9 正与之相称。反过来，如果你手上的历史数据方差远大于均值，说明它多半不服从泊松分布，本页的结果只能当粗略参考。

核心要点

泊松分布计算器可计算一个观察区间内的事件次数概率。假设电话独立到达、发生率恒定，每小时平均接到 2.5 通，输入 λ = 2.5、k = 3，一小时恰好接到 3 通的概率约 21.38%，至多 3 通约 75.76%；后者还包括 0、1、2 通。

公式：P(X = k) = e⁻λ·λᵏ / k!，k = 0, 1, 2, …。累积就是把对应的那些项加起来。
累积概率要区分端点：还是 λ = 2.5、k = 3，P(X ≤ 3) = 0.7575761331（含 3）、P(X < 3) = 0.5438131159（不含 3）、P(X ≥ 3) = 0.4561868841（含 3）、P(X > 3) = 0.2424238669（不含 3）。
λ 要按观察区间换算：每小时平均 3 次、看 2 小时，填 λ = 6 而不是 3。本页不提供时长输入框，请自己先乘好，λ 与 k 必须属于同一个区间。
期望等于方差：E(X) = D(X) = λ、σ = √λ。这是泊松分布的性质，但样本均值与方差接近不足以确认模型适用；它们描述整条分布，与你填的 k 无关。
易错点：k 必须是整数（填 2.5 直接报错）；k 不受 λ 限制，可以远大于 λ；「至少 3 次」含 3 而「超过 3 次」不含 3；显示为 1 时，应区分精确值与舍入值：λ = 20、k = 0 时 P(X ≥ 0) 精确等于 1，因为次数不会为负；P(X = 0) = 2.061153622e-9 表示恰好零次，并不是该事件的互补概率。

原理与公式

泊松分布（Poisson distribution）描述这样一件事：事件在一段时间、一块面积或一件产品上零星、独立地发生，平均发生次数固定为 λ，那么这一个观察区间内的发生次数 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记作 X ~ P(λ)。它是离散分布，X 可以取 0、1、2、… 任意非负整数——没有上限，这一点与二项分布（X ≤ n）不同，也是本页允许 k 远大于 λ 的原因。

概率质量函数（恰好 k 次）

P(X = k) = e⁻λ · λᵏ / k!，其中 e ≈ 2.718281828，k! 是 k 的阶乘（0! = 1）。k = 0 时公式退化为 P(X = 0) = e⁻λ，这是「一次都不发生」的概率。

四个累积方向

每一个都是把属于它的那些项加起来，端点是否包含一定要看清：

P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ P(X = i)——至多 k 次，含 k。
P(X < k) = Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ P(X = i)——少于 k 次，不含 k；k = 0 时是空和，精确等于 0。
P(X ≥ k) = Σᵢ₌ₖ^∞ P(X = i)——至少 k 次，含 k。
P(X > k) = Σᵢ₌ₖ₊₁^∞ P(X = i)——超过 k 次，不含 k。

期望、方差与标准差

E(X) = λ，D(X) = λ，σ = √λ。期望与方差相等是泊松分布的签名性质：把 B(n, p) 取极限（n → ∞、p → 0、np → λ），方差 np(1−p) 里抑制波动的 (1−p) 退化成 1，于是方差与期望重合。这三个数描述整条分布，与当前的 k 无关。

算例（可逐步手算核对）

λ = 2.5、k = 3（本页默认输入）：λ³/3! = 15.625/6 = 2.6041666667，e⁻²·⁵ = 0.0820849986，P(X = 3) = 0.2137630172；P(X < 3) = e⁻²·⁵ × (1 + 2.5 + 3.125) = e⁻²·⁵ × 6.625 = 0.5438131159，P(X ≤ 3) = 0.7575761331、P(X ≥ 3) = 0.4561868841、P(X > 3) = 0.2424238669；E(X) = D(X) = 2.5、σ = √2.5 = 1.5811388301。
每小时平均来 3 个电话，看 2 小时来 5 个：先换算 λ = 3 × 2 = 6，k = 5。P(X = 5) = 0.160623141、P(X ≤ 5) = 0.4456796414、P(X ≥ 5) = 0.7149434997；σ = √6 = 2.4494897428。坐席按 5 通排班，有约 55.43% 的概率会超过（P(X > 5) = 0.5543203586）。
λ = 20、k = 0 的远尾：P(X = 0) = e⁻²⁰ = 2.061153622e-9，P(X < 0) = 0（空和），P(X > 0) = 0.9999999979、P(X ≥ 0) = 1；σ = √20 = 4.472135955。这里能看出本页的两个显示口径：极小概率不印成 0，而接近 1 的累积概率会显示成 1。

适用前提与常见误用

三条缺一不可：① 事件在区间内相互独立，一次发生不影响下一次； ② 发生率在所选区间内恒定，任意等长的小段期望次数相同； ③ 同一瞬间不会有两次事件同时发生。现实中最常被违反的是第 ② 条——话务量、客流、故障率往往分时段变化，早高峰和凌晨不是同一个 λ；跨高峰低谷请分段各算一次，本页不做分时段建模，也不做多个 λ 的对比。判断数据适不适用还有一把快尺子：算一下样本均值和样本方差，两者接近才说明泊松分布用得上，方差明显大于均值（过离散）应考虑负二项分布。本页只做正向概率计算，不做拟合优度检验、不做区间估计、也不做「给定 95% 保证率反求 k」的反查。有明确试验次数 n 时请用二项分布计算器（n 大、p 小时两者可用 λ = np 互相近似）； λ 很大时可用正态分布近似（均值 λ、标准差 √λ）；只需要「至少发生一次」这类简单特例，用概率计算器更快。

精度与显示口径

全程使用高精度十进制运算（40 位有效数字），概率显示到 10 位小数；小于 0.0001 的概率改用 10 位有效数字显示（如 2.061153622e-9）。四个累积量各自从自己那一侧直接求和，不用「1 减去另一侧」—— 后者在远尾会把有效数字全部相消掉：λ = 1、k = 40 时 P(X > 40) 的真值约 1e-50，若用 1 − P(X ≤ 40) 去算会得到一个精确的 0。上尾是无穷级数，本页按几何级数余项上界截断，截断点比 40 位精度还低 5 个数量级，落在末位以下。也正因如此，非常接近 1 的累积概率会显示成 1，那只是 10 位小数看不出差别，不代表等于 1；要读那个极小的差，请看它互补的另一侧尾概率。λ 的上限是 10000（更大请改用正态近似），k 必须是 0 到 100000 之间的整数，两者取值互相独立、k 不受 λ 约束。λ = 0 时分布退化为一个点（X ≡ 0），所有概率为精确的 0 或 1，方差与标准差为 0。所有计算在浏览器本地完成，不上传数据。

常见问题

泊松分布的概率怎么算？公式 P(X=k) = e⁻λ·λᵏ/k! 中的参数是什么意思？: 公式是 P(X = k) = e⁻λ × λᵏ ÷ k!，三部分各有分工：λᵏ 与 k! 一起刻画「在这段区间里凑齐 k 次」的组合方式，e⁻λ 是把总概率拉回到 1 的归一化因子（把 k = 0, 1, 2, … 的所有项加起来正好等于 1）。举一个能手算的例子：λ = 2.5、k = 3，λ³ = 15.625，3! = 6，15.625 ÷ 6 = 2.6041666667，e⁻²·⁵ = 0.0820849986，两者相乘得 P(X = 3) = 0.2137630172，约 21.38%。再看 k = 0 的特例：λ⁰ = 1、0! = 1，所以 P(X = 0) = e⁻λ，λ = 2.5 时就是 0.0820849986。累积概率则是把对应的那些项加起来，例如 P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.7575761331。注意 λ 与 k 必须按同一个观察区间来数，量纲都是「次」。
泊松分布恰好、至多、至少 k 次的概率有什么区别？: 它们是五个不同的量，差别全在端点和方向上。以 λ = 2.5、k = 3 为例：恰好 3 次 P(X = 3) = 0.2137630172，只数 k = 3 这一项；至多 3 次 P(X ≤ 3) = 0.7575761331，把 0、1、2、3 四项全加起来，含 3；少于 3 次 P(X < 3) = 0.5438131159，只加到 2，不含 3；至少 3 次 P(X ≥ 3) = 0.4561868841，从 3 一直加到无穷，含 3；超过 3 次 P(X > 3) = 0.2424238669，从 4 开始加，不含 3。可以验算：P(X ≤ 3) + P(X > 3) = 1，P(X ≤ 3) − P(X < 3) = P(X = 3)。中文里最容易错的就是「至少」和「超过」：「至少 3 次」含 3，「超过 3 次」「多于 3 次」不含 3，一字之差结果从 0.456 变成 0.242。备货、排班这类问题问的是「够不够用」，要看至多；容量、告警这类问题问的是「会不会爆」，要看至少或超过。本页把五个量同屏给出，每个标签都写明含不含端点。
泊松分布的 λ 怎么确定？每小时平均 3 次，计算 2 小时应填多少？: 填 6，不是 3。λ 的定义是「你所选的那一个观察区间内平均发生多少次」，所以拿到的如果是发生率（每小时几次、每千件几个），必须先乘以区间长度：每小时 3 次 × 2 小时 = 6；每平方米 0.4 个疵点 × 5 平方米 = 2；每千件 1.5 个不良 × 0.4 千件 = 0.6。本页刻意不做这个换算，也不提供时长输入框——把乘法留在你自己手里，才不会出现「工具按小时算、你按天问」的错位。λ 的数值本身通常取历史数据的样本均值：过去 60 天共发生 90 次，平均每天 1.5 次，看一天就填 1.5。三点提醒：一是 λ 可以是小数，事件次数是整数但平均值不必是；二是 λ 在这个区间内要视为恒定，早高峰和凌晨的话务量不是同一个 λ，跨高峰低谷请分段各算一次；三是 λ = 0 表示事件不会发生，此时 X 恒为 0，所有概率退化成精确的 0 或 1。
泊松分布和二项分布怎么选？什么时候可以用 λ = np 做泊松近似？: 看你的问题里有没有一个明确的「试验次数 n」。有 n、每次成败两分且成功概率固定，用二项分布：抽检 100 件、不良率 2%，n = 100、p = 0.02。没有 n，只知道「单位时间 / 单位面积平均发生几次」、事件在区间内可以发生任意多次，用泊松分布：一小时来几个电话、一平方米几个疵点、一场比赛几个进球，这些都数不出「一共试了多少次」。两者的联系是：n 很大而 p 很小时，二项分布 B(n, p) 可以用 λ = np 的泊松分布近似，常用的经验判据是 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05（更保守的取 n ≥ 100 且 np ≤ 10）。上面那个抽检例子 n = 100、p = 0.02 就满足，λ = 2，恰好 2 件不良按泊松算是 0.2706705665，按二项精确算是 0.2734315393，差约 0.003，工程上可接受。判据不满足就别硬近似，直接用二项分布计算器算精确值。还有一条实务上的分辨口径：泊松分布要求方差等于均值，如果你的历史数据方差明显大于均值（过离散），说明发生率本身在波动，泊松分布并不适用，应考虑负二项分布——本页不做这类模型判定，也不做拟合优度检验。
泊松分布的期望和方差为什么都等于 λ？标准差 √λ 表示什么？: E(X) = λ、D(X) = λ、σ = √λ，期望和方差相等是泊松分布区别于其他常见计数分布的签名性质。它可以从二项分布取极限看出来：B(n, p) 的期望是 np、方差是 np(1−p)，令 n → ∞、p → 0 且 np → λ，则方差 np(1−p) → λ(1−0) = λ，与期望重合。直观地说，正因为「试验次数」无穷多而每次概率无穷小，抑制方差的那个 (1−p) 因子退化成了 1。用法上，√λ 给了你一把快速的合理性尺子：λ = 2.5 时 σ ≈ 1.58，绝大多数取值落在 0~7 之间；λ = 20 时 σ ≈ 4.47，k = 0 离均值 4.5 个 σ，概率小到 2.061153622e-9 也就不奇怪了。反过来还能做模型自检：算一下你手上历史数据的样本均值和样本方差，两者接近才说明泊松分布用得上；方差远大于均值（过离散）多半是因为发生率分时段变化，此时先分段再算，不要用一个平均 λ 糊过去。注意这三个数描述的是整条分布，与你当前填的 k 没有关系，换个 k 它们不会变。
Excel 泊松分布函数 POISSON.DIST 的 TRUE 和 FALSE 有什么区别？: 第三个参数 cumulative 决定算哪一个量：填 FALSE 得到概率质量函数，也就是「恰好发生 x 次」；填 TRUE 得到从 0 到 x（含 x）的累积概率，也就是本页的「至多 k 次」。微软官方文档给的示例是 x = 2、mean = 5：=POISSON.DIST(2,5,FALSE) 印为 0.084224，=POISSON.DIST(2,5,TRUE) 印为 0.124652；本页在同样输入下给出 0.0842243375 与 0.1246520195，与官方示例一致，只是位数更多。对不上通常是三种情况：一是 TRUE/FALSE 选反了，把「至多」当成了「恰好」；二是 λ 没有按观察区间换算，把每小时的发生率直接当成了两小时的 λ；三是 x 填了小数——官方文档写明「如果 x 不是整数，将被截尾取整」，Excel 会按截断后的整数照算，本页认为静默改写输入比报错更危险，所以直接报错。还有一个显示差异：Excel 单元格默认只显示几位小数，远尾概率容易被显示成 0，本页显示到 10 位小数、极小值改用 10 位有效数字，不会把真实大于 0 的概率印成 0。
泊松分布累计概率显示为 1 就是必然发生吗？: 要区分精确等于 1 和显示舍入。本页概率通常显示到 10 位小数，某些接近 1 的累计概率会显示为 1，不能据此认定事件必然发生；应查看对应的互补尾概率，例如“至多 k 次”对应“超过 k 次”。但“至少 0 次”的概率本来就精确等于 1，因为泊松分布的次数不会为负。λ = 0 时次数恒为 0，也是精确值的情形。

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