置信区间计算器

输入样本均值、标准差、样本量或粘贴原始数据，即可计算总体均值与总体比例的 90%、95%、99% 置信区间，并查看误差幅度、临界值和 Wilson 区间。

身高、成绩、耗时、金额等连续数值的平均水平，用 x̄ ± 临界值 × 标准误。

置信水平越高区间越宽。95% 是论文与报告的默认口径，医学、质量控制常用 99%。

已知均值、标准差、样本量时直接填三个数。

默认选它：总体标准差 σ 未知、用样本 s 代替时，临界值取自由度 n−1 的 t 分布。

不知道标准差可先用标准差计算器算出来再填这里。

t 分布需要 n ≥ 2（自由度 df = n − 1）；n 必须是整数，上限 9007199254740991。

95% 置信区间（总体均值 μ）
93.808304 ~ 106.191696

点估计 100 ± 误差幅度 6.191696，临界值 t* = 2.063899（df = 24）。

含义：按同样方法反复抽样，约 95% 的区间会盖住真实的总体均值；不是「真值有 95% 的概率落在这个区间」。

点估计100
样本量 n25
标准误 SE3
误差幅度 E6.191696
临界值 t*2.063899
自由度 df24
下限93.808304
上限106.191696
区间宽度12.383391
显著性水平 α0.05
单尾概率 α/20.025
标准差15

怎么用

  1. 选估计对象：总体均值还是总体比例：数据是身高、成绩、耗时、金额这类连续数值，要估计平均水平，选「总体均值 μ」；数据是「支持/不支持」「合格/不合格」这类计数占比，选「总体比例 p」。两者的标准误公式不同，选错会算出偏大或偏小的区间。
  2. 选置信水平：点 90%、95%、99% 任一档，或点「自定义」填 80、98、99.9 等。95% 是论文、报告、行业调查的默认口径；医学试验与质量控制常用 99%。置信水平越高，区间越宽——想更有把握，就得接受更粗的结论。
  3. 填样本信息：估计均值时，可直接填样本均值 x̄、标准差 s、样本量 n；也可切到「粘贴原始数据」，把一列数字（逗号、空格或换行分隔）贴进来，工具会自动算出 x̄、样本标准差 s 和 n，并按 t 分布出区间。估计比例时，填成功次数 x 与样本量 n，例如 100 人里 45 人支持就填 45 和 100。
  4. 选 t 分布还是 z 分布：估计均值时默认用 t 分布：总体标准差 σ 未知、只能用样本标准差 s 代替，临界值就取自由度 df = n − 1 的 t 值。只有 σ 真的已知（由历史数据、行业标准或仪器精度给定，而不是这批样本算出来的）才切到 z，并在标准差栏填这个已知的 σ。「粘贴原始数据」模式只能算出样本 s，因此固定用 t，不提供 z 选项。估计比例时固定用 z（正态近似），也无需选择。
  5. 读结果并核对：顶部大字是区间的下限与上限，下面列出点估计、标准误 SE、误差幅度 E、临界值 t*/z*、自由度 df 与区间宽度，可直接抄进作业或报告。比例还会同时给出 Wilson 得分区间；当样本不满足 x ≥ 5 且 n − x ≥ 5 时，请以 Wilson 区间为准。

核心要点

置信区间用样本估计总体，公式统一是「点估计 ± 临界值 × 标准误」： 均值用 x̄ ± t* · s/√n，比例用 p̂ ± z* · √(p̂(1−p̂)/n)。

  • 选分布：总体标准差 σ 未知用 t（自由度 df = n − 1）；σ 已知用 z；粘贴原始数据只能得到样本 s，固定用 t；估计比例固定用 z。
  • 典型算例：x̄ = 100、s = 15、n = 25，95% 置信区间为 [93.808304, 106.191696]。
  • 正确解读：约 95% 的同类区间会盖住真值，不是「真值有 95% 概率落在这个区间」。
  • 边界：比例接近 0 或 1、样本又小时 Wald 区间失效，改看 Wilson 得分区间；所有计算在浏览器本地完成，不上传数据。

原理与公式

置信区间（confidence interval，CI）是用样本推断总体的区间估计：在点估计两侧留出 一段「误差幅度」，得到一个大概率覆盖真实总体参数的范围。所有形式都可以写成同一个骨架 —— 点估计 ± 临界值 × 标准误。

总体均值 μ 的置信区间

σ 未知（最常见，用 t 分布）：
x̄ ± t*(1−α/2, n−1) · s/√n
σ 已知（用 z 分布）：
x̄ ± z*(1−α/2) · σ/√n
其中 α = 1 − 置信水平，s/√n 叫标准误（standard error，SE），t* · SE 叫误差幅度（margin of error，E）。自由度 df = n − 1。

两条公式的区别只在 σ 是不是外生已知的：σ 来自历史数据、行业标准或仪器精度时才能用 z； 只要标准差是从这批样本算出来的，它就是 s，必须用 t。 因此本工具的「粘贴原始数据」模式固定用 t——原始数据只能推出 s，把它当作已知 σ 会系统性低估区间，样本越小低估越离谱 （如数据为 0, 10 时，95% 的 t 区间是 [−58.531024, 68.531024]，误用 z 只有 [−4.799820, 14.799820]）。

总体比例 p 的置信区间

Wald 正态近似区间：p̂ ± z* · √(p̂(1−p̂)/n)，其中 p̂ = x/n。
Wilson 得分区间（小样本、极端比例下更可靠）：
中心 = (p̂ + z*²/2n) / (1 + z*²/n)
半宽 = z*/(1 + z*²/n) · √(p̂(1−p̂)/n + z*²/4n²)
Wilson 区间的端点永远落在 0~1 之间，不会像 Wald 那样越界。
Wald 端点越界时本工具会截断到 0 或 1，并同时标出截断前的原始端点——截断后的区间不再对称，此时展示的宽度小于 2 × 误差幅度，请直接以 Wilson 区间为准。
更严格的场合：药品检验、医疗器械验证、监管报送等要求 「实际覆盖率不低于名义水平」的正式用途，可改用基于二项分布精确概率的Clopper–Pearson 精确区间，它比 Wilson 更保守（区间更宽）， 换来的是不会低于名义覆盖率。

常用临界值

z*：90% → 1.644854，95% → 1.959964，99% → 2.575829。
t*（95%）：df = 1 → 12.706205，df = 10 → 2.228139，df = 24 → 2.063899，df = 30 → 2.042272，df = 100 → 1.983972，df = 1000 → 1.962339。df 越大越接近 z*：df → ∞ 时 t* 单调递减收敛到 z*， 但对任何有限 df 都严格大于 z*。

计算示例（均值，t 分布）

样本均值 x̄ = 100，样本标准差 s = 15，样本量 n = 25，置信水平 95%：
df = 25 − 1 = 24，t* = 2.063899
SE = 15 / √25 = 3
E = 2.063899 × 3 = 6.191696
CI = 100 ± 6.191696 = [93.808304, 106.191696]

计算示例（比例，z 分布）

100 人中 45 人支持，p̂ = 0.45，置信水平 95%：
SE = √(0.45 × 0.55 / 100) = 0.049749
E = 1.959964 × 0.049749 = 0.097507
Wald CI = [0.352493, 0.547507]，即 35.25%~54.75%
Wilson CI = [0.356145, 0.547554]

怎么让区间变窄

对未被截断的对称区间，区间宽度 = 2 × 临界值 × 标准误（比例区间被截断到 0/1 时该等式不成立），因此只有三条路：降低置信水平、 减小数据波动 s、加大样本量 n。由于 SE 里是 √n，误差幅度减半需要样本量变成 4 倍。反推样本量： 估计比例用 n ≈ z*²·p̂(1−p̂)/E²（最保守取 p̂ = 0.5）， 估计均值用 n ≈ (z*·s/E)²。

适用前提与精度

均值区间要求样本随机独立，且总体近似正态或样本量足够大（中心极限定理）； 比例区间的正态近似经验判据是 x ≥ 5 且 n − x ≥ 5， 不满足时以 Wilson 区间为准。区间只反映抽样误差， 无法弥补抽样偏差、测量误差或问卷设计缺陷。
精度：均值、标准差与原始数据以原始文本直接交给高精度十进制引擎， 不经浮点转换，规避原生浮点误差（0.1 + 0.2 = 0.3）与大整数精度丢失； 临界值 z*、t* 由双精度分位数算法求得（相对误差约 1e-10），远细于展示的 6 位小数。t* 在 df < 10000 时由不完全贝塔函数表示的尾概率反解，df ≥ 10000 时改用 Cornish–Fisher 渐近展开——超大自由度下 df/(df+t²) 会因过于接近 1 而在双精度中失真，换用展开式后 n = 10¹⁵ 仍能正确收敛到 t* → z* = 1.959964。 所有档位的单尾概率 α/2 都按 (100 − 置信水平)/200 在十进制下求出，不走 1 − α/2，因此极高置信水平不会被舍入成 1 而失效。
支持范围：置信水平 0 < 水平 ≤ 99.9999999999998%（单尾概率 α/2 ≥ 1e-15）；样本量 n 为 1 ~ 9007199254740991 的整数（超过双精度安全整数上限后 n 与 df 已无法唯一表示）；均值、标准差与单个数据点的绝对值上限为 1e150，以保证输出始终是有限数值。超出以上范围会明确报错， 而不是静默返回无穷大或失真结果。计算均在浏览器本地完成，不上传数据。

常见问题

95% 置信区间怎么算？置信区间计算公式是什么？
总体均值的置信区间是「点估计 ± 临界值 × 标准误」：x̄ ± t*(1−α/2, n−1) × s/√n。三步走：① 算标准误 SE = s/√n；② 按置信水平和自由度 df = n−1 查临界值 t*；③ 用 x̄ 加减 t*×SE 得到上下限。举例：样本均值 x̄ = 100、样本标准差 s = 15、n = 25，95% 时 df = 24、t* ≈ 2.063899，SE = 15/√25 = 3，误差幅度 E = 2.063899 × 3 ≈ 6.191696，区间为 [93.808304, 106.191696]。若总体标准差 σ 已知，把 t* 换成 z*（95% 时 z* ≈ 1.959964）即可。
均值置信区间使用 t 值和 z 值的条件有什么区别？
判断标准是总体标准差 σ 知不知道，而不是样本大不大。σ 未知、只能用样本标准差 s 顶替时用 t 分布，自由度 df = n − 1（n 是样本量，比如 n = 25 就是 df = 24）；σ 已知时用 z 分布，没有自由度这一说。t 分布比正态分布尾部更厚，同样置信水平下 t* 总比 z* 大一点，区间也更宽，这就是为估计 σ 付出的代价。n 越大两者差距越小：df = 30 时 95% 的 t* ≈ 2.042272，已经很接近 z* ≈ 1.959964，所以大样本下用 z 近似影响很小。要特别注意：只有一列原始数据时 σ 一定是未知的，把算出来的 s 当成 σ 去套 z 会严重低估区间——例如数据只有 0 和 10 两个值，95% 的正确 t 区间是 [−58.53, 68.53]，误用 z 会缩成 [−4.80, 14.80]。所以本工具的「粘贴原始数据」模式固定用 t。估计总体比例时固定用 z。
95% 置信区间是什么意思？能说真值有 95% 的概率落在区间里吗？
不能这么说，这是常见误读之一。频率学派的定义针对「方法」而不是「这一个区间」：按同样方式反复抽样、每次都算一个 95% 置信区间，长期来看约 95% 的区间会盖住真实的总体参数。真值是一个固定的未知常数，它要么在你手上这个区间里，要么不在，没有概率可言。正确的说法是「我们有 95% 的把握认为总体均值在 93.81 到 106.19 之间」。另外，置信区间只覆盖抽样误差，不能修正抽样方式偏差、测量错误或问卷设计问题——样本不随机时，区间再窄也没有意义。
95% 置信区间太宽怎么办？目标误差为 ±3% 时样本量怎么算？
对未被截断的对称区间来说，区间宽度 = 2 × 临界值 × 标准误，能动的只有三处：降低置信水平（99% 换成 95%）、减小数据本身的波动 s、或者加大样本量 n。因为 SE 里是 √n，把误差幅度减半需要样本量变成 4 倍，这是成本较高但直接有效的方式。反过来可按目标误差 E 倒推样本量：估计比例时 n ≈ z²·p̂(1−p̂)/E²，保守取 p̂ = 0.5，要做到 95% 置信、±3 个百分点，n ≈ 1.959964² × 0.25 / 0.03² ≈ 1068，这正是民调常见 1000 人出头样本量的由来；估计均值时用 n ≈ (z·s/E)²。
比例置信区间怎么算？Wald 区间和 Wilson 区间有什么区别？
常规做法是 Wald 正态近似区间：p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)。例如 100 人里 45 人支持，p̂ = 0.45，SE = √(0.45×0.55/100) ≈ 0.049749，95% 时 z* ≈ 1.959964，区间约为 [0.352493, 0.547507]，即 35.25%~54.75%。但 Wald 区间在样本小或比例接近 0/1 时表现很差：p̂ = 0 时它会给出宽度为 0 的荒谬区间 [0, 0]，端点还可能跑到 0 以下——例如 10 人里 1 人成功、99% 置信时，原始端点约为 [−0.144, 0.344]，截断到 0 后区间宽度就不再等于 2 × 误差幅度，工具会同时把截断前的端点标出来。所以本工具同时给出 Wilson 得分区间（把 z² 项纳入中心与半宽），它天然落在 0~1 内、小样本覆盖率更接近名义水平。经验判据是 x ≥ 5 且 n − x ≥ 5，不满足就以 Wilson 区间为准。若是药品检验、医疗器械验证、监管报送这类要求「实际覆盖率不低于名义水平」的正式用途，还可以进一步改用基于二项分布精确概率的 Clopper–Pearson 精确区间，它比 Wilson 更保守（区间更宽），代价是效率略低。
90%、95%、99% 置信区间该选哪个？和显著性水平 α 是什么关系？
置信水平 = 1 − α，选择本质上是在「把握」和「精度」之间取舍：95%（α = 0.05）是学术论文、市场调研与行业报告的通行默认，兼顾两者；99%（α = 0.01）区间更宽但结论更稳，用于医学试验、药品检验、安全与质量控制等误判代价高的场景；90%（α = 0.10）区间最窄，多见于探索性分析、初步摸底或样本本来就很小的时候。注意口径必须先定后算：不能算完看结果不理想再回头调低置信水平，那会让区间失去意义。同一组数据下，90%、95%、99% 的区间是层层包含的关系，本工具切换一下就能对比宽度差多少。

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