导数计算器
输入一个关于 x 的函数（多项式、三角、指数对数等），自动按求和/乘积/商/幂与链式法则求出导函数，支持一到三阶高阶导数，并可计算某点的导数值（一阶导数值即该点切线斜率）。
用 ^ 或上标写次数（x^2 或 x²）。系数与变量、变量与括号之间的乘号可省略（2x、3(x+1)），但字母与字母之间要写乘号（x*e^x，不能写成 xe^x）。支持 sin cos tan cot sec csc、asin acos atan、ln log exp sqrt 及常数 π、e。
导函数按求和、乘积、商、幂与链式法则逐步推导，并做了基础化简（合并常数、约去乘 1/加 0、合并完全相同的同类项）；乘积、商、复合结果可能保留展开形式，数学上与手算等价但不保证是最简。在「求值点」中填入一个数即可得到该点的导数值。
怎么用
- 输入函数表达式：在「函数表达式 f(x)」里写出要求导的函数，如 x^3 + 2x、sin(x)、x*e^x。次数用 ^ 或上标（x^2 或 x² 都行）。系数与变量、变量与括号之间的乘号可省略（2x=2*x、3(x+1)=3*(x+1)），但两个字母之间必须写乘号（写 x*e^x，不能写 xe^x）。支持 sin、cos、tan、ln、log、exp、sqrt 等常用函数与常数 π、e。
- 选择求导阶数：默认求一阶导数 f′(x)。若要二阶 f″(x) 或三阶导数，点上方「一阶 / 二阶 / 三阶」切换，工具会依次给出每一阶的导函数。
- 读导函数结果：工具按求和、乘积、商、幂与链式法则自动求导，并合并同类项化简，直接给出导函数表达式；多阶时会逐阶列出 f′(x)、f″(x)。
- 求某点导数值（可选）：在「求值点 x =」里填一个数（如 2 或 -1.5），工具会额外算出原函数 f 与所求阶导数在该点的数值。其中一阶导数值 f′(a) 才是该点切线的斜率；二阶及以上导数值表示变化率的进一步变化（如凹凸性、加速度），不再是切线斜率。留空则只给出导函数。
核心要点
导数计算器对一个单变量函数 f(x) 自动求导，并可算出某点的导数值：
- 导函数：按求导法则给出 f′(x)，如
(x³ + 2x)′ = 3x² + 2、(sin x)′ = cos x。 - 常用函数：幂、指数、对数、三角/反三角、根号均支持， 复合函数用链式法则，如
[ln(x²+1)]′ = 2x/(x²+1)。 - 高阶导数：可求一到三阶，如
(x³)″ = 6x。 - 某点导数值：填入
x = a得f′(a)， 即该点切线斜率，如f(x)=x³时f′(2)=12。
原理与公式
导数是函数的瞬时变化率，几何上是切线斜率，定义为 f′(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h。 实际求导靠下面的基本公式与运算法则组合完成。
基本求导公式
- 常数：
(c)′ = 0；幂函数：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。 - 指数：
(eˣ)′ = eˣ，(aˣ)′ = aˣ·ln a（底数须a > 0）。 - 对数：
(ln x)′ = 1/x，(logₐ x)′ = 1/(x·ln a)。 - 三角：
(sin x)′ = cos x，(cos x)′ = −sin x，(tan x)′ = 1/cos²x。
运算法则
- 和差：
(u ± v)′ = u′ ± v′。 - 乘积：
(u·v)′ = u′v + uv′。 - 商：
(u/v)′ = (u′v − uv′) / v²。 - 链式法则（复合函数）：
[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)。
算例
f(x) = x·eˣ：由乘积法则 f′(x) = 1·eˣ + x·eˣ = eˣ + x·eˣ。
f(x) = ln(x² + 1)：由链式法则，外层 ln u 的导数是 1/u，内层 u = x²+1 的导数是 2x，故 f′(x) = 2x/(x² + 1)。
某点导数值与切线：求出 f′(x) 后代入 x=a得 f′(a)，它是曲线在 (a, f(a)) 处切线的斜率， 切线方程为 y = f(a) + f′(a)(x − a)。
高阶导数
对导函数再求导得到高阶导数：f″(x) = [f′(x)]′。 例如 (x³)′ = 3x²，(x³)″ = 6x，(x³)‴ = 6。 二阶导数用于判断曲线凹凸与极值（f′(a)=0 且 f″(a)>0为极小值点，f″(a)<0 为极大值点）。
定义域与某点导数值
本工具在实数域上处理所有函数。导函数表达式是精确的符号结果， 但只在原函数的定义域内成立；下列函数在定义域外无实数值，其导数值也记为无定义：
ln(x)、log(x)：要求x > 0。sqrt(x)：要求x ≥ 0（且x = 0处导数1/(2√x)为无穷，不可导）。asin(x)、acos(x)：要求−1 ≤ x ≤ 1。tan(x)、1/(x−a)等：在使分母为 0 的点无定义。- 幂函数
aˣ：通用公式(aˣ)′ = aˣ·ln a要求底数a > 0。0ˣ在x > 0上恒为 0（导数为 0），x ≤ 0处无定义；底数为负数（如(−1)^0.5）在实数域无意义，工具会直接提示无定义。
因此计算某点导数值时，工具先检查原函数在该点是否有实数值：若 f(a) 无定义， 则 f′(a) 一并记为「无定义」，不会给出误导性的切线斜率。
其他限制：本工具只在实数域计算，不支持复数结果（如 sqrt(−1)、ln(−1)、负底数的非整数次幂）——这类常量子式无实数值， 工具会直接报错而非返回误导性的 0；1/0 等常量除零同样报错。也不支持科学计数法输入， 请把 1e3 写成 1000（否则 e 会被当作常数 e，得到 1·e·3）。
数值精度与范围
- 系数精度：采用 IEEE-754 双精度浮点，约 15～16 位有效数字。 手写的系数（如
0.1234567890123）会原样保留在导函数中；超过约 15 位有效数字的部分会按浮点规则舍入。 - 数值范围：数字须落在双精度可表示范围内（绝对值约 < 1.8×10³⁰⁸）。 若系数或指数在求导过程中相乘、相加后溢出该范围，工具会提示「超出可表示范围」并拒绝，而非输出
Infinity。 - 三角奇点的浮点误差：像
tan(x)在x = π/2、cot(x)在x = 0等奇点处理论上无定义，但由于π/2无法用浮点精确表示， 代入所得的原函数值是一个极大的有限数而非无穷，故某点导数值在紧邻奇点时可能给出很大但有限的数，请结合定义域判断，勿把它当作真实斜率。
常见问题
- 导数是什么？求导到底在算什么？
- 导数是函数在某一点的瞬时变化率，几何上等于该点切线的斜率。函数 f(x) 的导数记作 f′(x) 或 dy/dx，定义为 f′(x)=lim(h→0) [f(x+h)−f(x)]/h。求导（微分）就是由原函数 f(x) 得到它的导函数 f′(x)：例如位移对时间求导得到速度，速度再求导得到加速度。本工具输入一个关于 x 的函数，自动按求导法则给出它的导函数，并可计算指定点 x=a 处的导数值 f′(a)，也就是该点切线的斜率。
- 导数计算器支持哪些函数和写法？x²、2x、e^x、sin(x) 都能求导吗？
- 都支持。表达式可用四则运算 + − × ÷ 与乘方 ^，以及这些常用函数：三角函数 sin、cos、tan、cot、sec、csc，反三角 asin、acos、atan，对数指数 ln（自然对数）、log（以 10 为底）、exp、sqrt（平方根），常数 π（写作 pi 或 π）和 e。次数用 ^ 或 Unicode 上标（x^2 或 x²），也接受 x**2。乘号可写 *、· 或在这几种情形直接省略：数字与变量/括号/函数之间（2x=2*x、3(x+1)、2sin(x)）、右括号与后续因子之间（(x+1)(x−1)）；但两个字母（含变量、常数、函数名）相邻时必须写乘号，例如要写 x*e^x，不能写成 xe^x。例如 x^3+2x、sin(x)*cos(x)、(x^2+1)/(x−3)、ln(x^2+1)、x^x 都能求导。
- 常见的求导公式有哪些？
- 基本公式：常数 (c)′=0；幂函数 (xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹（如 (x³)′=3x²）；(eˣ)′=eˣ、(aˣ)′=aˣ·ln a；(ln x)′=1/x、(logₐx)′=1/(x·ln a)；(sin x)′=cos x、(cos x)′=−sin x、(tan x)′=sec²x=1/cos²x。运算法则：和差 (u±v)′=u′±v′；乘积 (uv)′=u′v+uv′；商 (u/v)′=(u′v−uv′)/v²；链式法则（复合函数）[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)。本工具正是把这些公式递归组合起来完成任意组合的求导。
- sin x、cos x、ln x、eˣ 的导数分别是多少？常见函数导数表
- 常见函数的导数可直接查表（x 需落在各函数定义域内）：常数 (c)′=0；幂函数 (xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹，如 (x²)′=2x、(√x)′=1/(2√x)（x>0）；指数 (eˣ)′=eˣ、(aˣ)′=aˣ·ln a；对数 (ln x)′=1/x（x>0）、(logₐx)′=1/(x·ln a)；三角 (sin x)′=cos x、(cos x)′=−sin x、(tan x)′=1/cos²x。把这些基本导数与和差、乘积、商、链式法则组合，就能对任意表达式求导。想核对某个具体函数，直接在上方输入框写出它（如 sin(x)、ln(x)、x^0.5），即可得到导函数以及某点的导数值。
- 怎么求某一点的导数值？它和切线斜率是什么关系？
- 先求出导函数 f′(x)，再把 x 的具体值代入即可。本工具在「求值点 x =」中填入 a 后，会直接给出 f′(a)。几何意义上，f′(a) 就是曲线 y=f(x) 在点 (a, f(a)) 处切线的斜率，因此该点切线方程为 y=f(a)+f′(a)(x−a)。例如 f(x)=x³ 在 x=2 处：f′(x)=3x²，f′(2)=12，即该点切线斜率为 12。注意某点导数值是数值代入的结果（浮点近似，保留 6 位小数），而导函数表达式本身是精确的。
- 什么是高阶导数？二阶、三阶导数有什么用？
- 对导函数再求导就得到高阶导数：f′(x) 求导得二阶导数 f″(x)，再求导得三阶导数 f‴(x)，依此类推。本工具支持一到三阶。二阶导数描述「变化率的变化率」：在物理中位移的二阶导数是加速度；在函数研究中，f″(x)>0 表示曲线在该处下凸（凹向上）、f″(x)<0 表示上凸，f″(x)=0 且两侧变号处是拐点。二阶导数还用于判定极值：若 f′(a)=0 且 f″(a)>0 则 a 为极小值点，f″(a)<0 则为极大值点。
- 导数计算器的导函数没有完全化简，结果对吗？
- 工具会自动应用求导法则并做常规化简（合并同类项、去掉乘 1/加 0、约去可整除的常数），对多项式和常见函数能给出简洁结果。但对乘积、商、复合函数，严格化简涉及三角恒等式或因式分解，工具保留了展开后的等价形式，可能不是最简，但数学上完全正确、与手算等价。你可以填入「求值点」用数值核对，或用配套的「多项式计算器」化简多项式部分。若表达式无法解析（括号不匹配、出现未知变量等），工具会提示检查输入。