一元二次方程计算器
输入 a、b、c 三个系数，用求根公式解一元二次方程 a·x²+b·x+c=0；给出两个根（含复数根）、判别式、顶点与对称轴、韦达定理两根和与积，能开尽时给精确值。
方程形如 a·x² + b·x + c = 0。系数可为整数或小数、正负均可。
方程 1x² - 5x + 6 = 0 的解
x₁ = 3，x₂ = 2
判别式 Δ = b² − 4ac1根的情况两个不相等实根根 x₁（较大）3根 x₂（较小）2顶点坐标（x, y）(2.5, -0.25)对称轴x = 2.5两根之和（−b/a）5两根之积（c/a）6
判别式 Δ = 1 > 0，方程有两个不相等的实数根。
怎么用
- 整理成标准式：先把方程移项、合并成标准形式 a·x² + b·x + c = 0（右边为 0），读出二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c。缺项按 0 计，例如 x² − 4 = 0 就是 a=1、b=0、c=−4。
- 填入三个系数：在 a、b、c 三个框中分别填数字，可带正负号与小数。a 不能为 0，否则方程退化为一次方程（本工具会提示）。
- 读求根结果：工具用求根公式立即给出两个根 x₁、x₂：能整除或开尽时显示精确值，开不尽时按所选小数位给近似值（前面带 ≈）。判别式 Δ<0 时给出一对共轭复数根。
- 对照判别式与顶点：结果区同时给出判别式 Δ=b²−4ac 判断根的情况、抛物线顶点与对称轴、以及韦达定理的两根之和 −b/a 与之积 c/a，可用来快速验算你手算的根对不对。
核心要点
一元二次方程计算器按标准式 a·x² + b·x + c = 0（a ≠ 0）用求根公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) 求解：
- 判别式定性：
Δ = b² − 4ac，Δ>0两不等实根、Δ=0重根、Δ<0一对共轭复数根。 - 精确优先：能整除或开尽时给精确值（如
x²−5x+6=0 → 3, 2），开不尽按所选小数位给近似值。 - 顺带给全：抛物线顶点
(−b/2a, c−b²/4a)、对称轴，以及韦达定理两根之和−b/a、之积c/a，方便验算。 - 高精度：用十进制运算（约 40 位有效数字）代入公式， 避免浮点误差；计算全部在浏览器本地完成。
原理与公式
一元二次方程指只含一个未知数、且未知数最高次为 2 的方程， 标准形式 a·x² + b·x + c = 0，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。
求根公式与判别式
对配方后得到的通式，其根为 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)。根号内的 Δ = b² − 4ac 称判别式，决定根的情况：
Δ > 0：两个不相等实数根x = (−b ± √Δ)/(2a)；Δ = 0：两个相等实数根（重根）x = −b/(2a)；Δ < 0：无实数根，一对共轭复数根x = −b/(2a) ± (√(−Δ)/|2a|)·i，其中虚部按正幅值展示， 正负号由±统一表示。
算例
解 x² − 5x + 6 = 0：a=1, b=−5, c=6，Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 > 0，√Δ = 1，故 x = (5 ± 1)/2，得 x₁ = 3、x₂ = 2。
解 x² + x + 1 = 0：Δ = 1 − 4 = −3 < 0， 根为 −0.5 ± (√3/2)·i（一对共轭复数根）。
韦达定理与顶点
两根满足 x₁ + x₂ = −b/a、x₁·x₂ = c/a（韦达定理），可用于验算。二次函数 y = a·x² + b·x + c 的抛物线顶点为 (−b/2a, c − b²/4a)，对称轴 x = −b/2a； 方程的实根即抛物线与 x 轴的交点横坐标。
精度：本工具用高精度十进制运算（decimal.js，约 40 位有效数字） 代入公式，能整除或开尽时判定并给出精确值，否则四舍五入到所选小数位。
常见问题
- 一元二次方程的求根公式是什么？根是怎么算出来的？
- 对标准式 a·x² + b·x + c = 0（a≠0），求根公式为 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)。其中 b²−4ac 叫判别式 Δ。把 a、b、c 代入即可：先算 Δ，再算 √Δ，最后分别取 + 和 − 得到两个根。例如 x²−5x+6=0，Δ=25−24=1，√Δ=1，x=(5±1)/2，得 x₁=3、x₂=2。本工具用高精度十进制运算代入公式，避免浮点误差，能开尽时直接给精确值。
- 判别式 Δ=b²−4ac 有什么用？怎么判断根的个数？
- 判别式决定方程实数根的情况，不用真解就能看出来：Δ>0 时有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根（也叫重根，图像上抛物线与 x 轴相切）；Δ<0 时没有实数根，有一对共轭复数根 p±qi。所以看到 Δ 的符号就能判断根的性质。本工具会先算出 Δ 并标注根的情况，再给出具体的根。
- 什么是韦达定理？两根之和与之积怎么用来验算？
- 韦达定理（根与系数的关系）说：一元二次方程 a·x²+b·x+c=0 的两根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂ = −b/a、x₁·x₂ = c/a。它可以在不解方程时求两根的和与积，也能反过来验算你解出的根对不对——把两个根相加、相乘，看是否等于 −b/a 和 c/a。例如 x²−5x+6=0 的两根 3 和 2，和为 5=−(−5)/1、积为 6=6/1，验算无误。本工具直接给出两根之和与之积供对照。
- Δ<0 时的复数根（虚根）是什么意思？
- 当判别式 Δ<0 时，√Δ 在实数范围内不存在（负数没有实数平方根），方程没有实数解，但在复数范围内有两个根，它们互为共轭复数：x = −b/(2a) ± (√(−Δ)/|2a|)·i，其中 i 是虚数单位，满足 i²=−1。虚部按正幅值展示，两根的正负差异由 ± 统一表示（即使 a<0，虚部也不会显示为负）。例如 x²+x+1=0，Δ=−3，根为 −0.5 ± (√3/2)i。图像上表现为抛物线与 x 轴没有交点。本工具在 Δ<0 时会给出这对共轭复数根的实部与虚部。
- 抛物线的顶点和对称轴怎么求？和方程的根有什么关系？
- 二次函数 y=a·x²+b·x+c 的图像是抛物线，顶点横坐标 x=−b/(2a)（这条竖直线就是对称轴），纵坐标 y=c−b²/(4a)（也可把顶点横坐标代回函数求得）。方程 a·x²+b·x+c=0 的根就是抛物线与 x 轴的交点横坐标：Δ>0 交于两点、Δ=0 相切于顶点（此时顶点在 x 轴上，重根等于顶点横坐标）、Δ<0 不相交。本工具在求根的同时给出顶点坐标与对称轴。
- a=0 或只有部分系数时还能用吗？
- a=0 时它不再是一元二次方程，而是一次方程 b·x+c=0（根为 x=−c/b），本工具会提示 a 不能为 0，请改用一次方程/解方程的方法。b 或 c 为 0 是允许的：b=0 时方程为 a·x²+c=0（如 x²−4=0，根 ±2）；c=0 时方程为 a·x²+b·x=0，必有一根为 0（提取公因式 x(ax+b)=0）。缺项时把对应系数填 0 即可。