多项式的加、减、乘、除分别是怎么算的？

加减法是「合并同类项」：把次数相同的项的系数相加或相减，如 (x²+2x+1)+(x+1)=x²+3x+2、(x²+2x+1)−(x+1)=x²+x。乘法用分配律逐项相乘再合并，如 (x−1)(x+1)=x²−1、(x²−1)(x+1)=x³+x²−x−1。除法用多项式长除法（带余除法）：得到商式 Q 与余式 R，满足 A=B·Q+R 且余式次数小于除式次数，如 (x²+1)÷(x−1)=x+1 余 2。本工具四种运算都用 BigInt 有理数精确计算，不会有小数误差。

多项式长除法（带余除法）怎么做？余式是什么？

长除法和整数竖式除法类似：每一步用被除式当前最高次项除以除式的最高次项得到商的一项，乘回除式后从被除式中减去，降低次数，重复到余式的次数低于除式为止。最终得到商式 Q 和余式 R，满足 A = B·Q + R，且 deg R < deg B。例如 (x²+1)÷(x−1)：商 x+1、余 2，即 x²+1=(x−1)(x+1)+2。当余式为 0 时，说明 B 能整除 A（B 是 A 的因式）。本工具会同时给出商式、余式，并标注是否整除。

系数可以是分数或小数吗？除法结果会不会出现分数？

可以。系数支持整数、分数（写成 1/2）和小数（写成 0.5），工具内部统一转成最简分数做精确运算。加减乘的结果对整系数输入仍是整系数；但除法的商式即使输入是整系数也可能出现分数系数——这是正常的，例如 (x²+1)÷(2x) 的商为 1/2x（即 ½x）、余 1。本工具用有理数运算精确保留这些分数，结果以最简分数形式（如 1/2x）显示，不会四舍五入成小数近似值。

输入格式有什么要求？x²、x^2、2*x 这些都支持吗？

都支持。次数可以用脱字符 ^（x^2、x^3）或 Unicode 上标（x²、x³），也接受 ** （x**2）；系数与变量之间的乘号可写 *、· 或直接省略（2x 等于 2*x）。项与项之间用 + 或 − 连接，空格随意。缺项按 0 计，例如 x^3 − 1 表示 x³+0·x²+0·x−1。指数必须是非负整数。若格式无法识别（如 x^ 后面没有数字、出现负指数），工具会提示检查输入。

输入的多项式有次数或长度上限吗？x 的次数最高能到多少？

有一个较宽松的上限：单个多项式的最高次数约定为 100（即指数最大为 100），指数必须是非负整数；项数不限，缺项按 0 计。系数可用整数、分数（1/2）或小数（0.5），内部统一按最简分数精确运算。若输入的次数超过 100（如 x^101），或出现负指数、非整数指数（如 x^-1、x^0.5），工具会提示检查输入。日常代数练习、竖式长除法与验算的题目通常都在这个范围内。

多项式的次数（degree）是什么？零多项式的次数怎么算？

多项式的次数是它最高次非零项的指数，如 2x³−x+5 的次数是 3，常数 7 的次数是 0。运算会改变次数：两个多项式相乘，积的次数等于两者次数之和；相加减时，次数一般取两者较大者，但最高次项若相互抵消，次数会降低（如 (x²+x)−(x²−1)=x+1，次数从 2 降到 1）。零多项式（结果为 0）通常约定次数为 −1 或「无定义」，本工具在结果为 0 时标注为「零多项式」。

多项式运算和因式分解、解方程有什么关系？

它们紧密相关。因式分解是把多项式写成因式相乘，是乘法的逆运算：若 A÷B 余式为 0，则 B 是 A 的一个因式。解方程是求使多项式等于 0 的根；由余数定理，A 除以 (x−c) 的余数等于把 x=c 代入 A 的值，余数为 0 说明 c 是根、(x−c) 是因式。所以想分解二次三项式可用配套的「因式分解计算器」，想求一元二次方程的根可用「一元二次方程计算器」，本工具专注于多项式之间的加减乘除运算与化简。

多项式计算器

输入两个多项式，做加、减、乘、除四则运算：自动合并同类项、展开乘积、长除法给出商式与余式，有理数精确计算，支持分数与小数系数。

第一个多项式 A

运算

第二个多项式 B

用 ^ 或上标写次数（x^2 或 x² 均可），系数可为整数、分数（1/2）或小数（0.5）；缺项按 0 计。除法给出商式与余式。

变量（单个字母）

多项式运算结果

x² + 3x + 2

多项式 Ax² + 2x + 1多项式 Bx + 1结果次数2

(x² + 2x + 1) + (x + 1) = x² + 3x + 2

怎么用

写出两个多项式：在 A、B 两个框里分别输入要运算的多项式，如 x^2 + 2x + 1 与 x + 1。次数用 ^ 或上标（x^2 或 x² 都行），系数可以是整数、分数（1/2）或小数（0.5），缺的项不用写、按 0 计。
选择运算：加 / 减 / 乘 / 除：点击「加（+）」「减（−）」「乘（×）」「除（÷）」选择要做的运算。做减法与除法时顺序是 A 减 B、A 除以 B，注意别放反。
读结果：加减乘会自动合并同类项、展开并按降幂给出结果多项式；除法给出商式 Q 与余式 R，并标注是否整除。整个计算在浏览器本地用有理数精确完成，分数系数也不失真。
换变量（可选）：默认变量是 x，如果你的题目用 t、y 等其他字母，在「变量」框改成对应的单个字母即可，两个多项式都要用同一个变量。

核心要点

多项式计算器对两个一元多项式做四则运算，全程有理数精确、无浮点误差：

加 / 减：合并同类项，如 (x²+2x+1) + (x+1) = x²+3x+2。
乘：逐项分配相乘再合并，如 (x−1)(x+1) = x²−1。
除：长除法给出商式与余式，满足 A = B·Q + R，如 (x²+1)÷(x−1) = x+1 余 2。
精确：系数用 BigInt 有理数存储，分数、小数系数不失真，计算全部在浏览器本地完成。

原理与公式

多项式是形如 aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ 的式子，最高次非零项的指数称为它的次数。多项式的四则运算规则如下。

加法与减法：合并同类项

把次数相同的项的系数相加（减），次数不变：(x² + 2x + 1) + (x + 1) = x² + 3x + 2；(x² + 2x + 1) − (x + 1) = x² + x。最高次项若相互抵消，结果次数会降低。

乘法：分配律逐项相乘

用分配律把每一项两两相乘再合并同类项，积的次数等于两因式次数之和：(x − 1)(x + 1) = x² − 1；(x² − 1)(x + 1) = x³ + x² − x − 1。

除法：长除法（带余除法）

用被除式当前最高次项除以除式最高次项，得到商的一项；
把这一项乘回除式，从被除式中减去，使次数下降；
重复上述过程，直到余式的次数低于除式次数为止。

结果满足 A = B·Q + R（deg R < deg B）。例如 (x² + 1) ÷ (x − 1)：商 x + 1、余 2，即 x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2。当余式为 0 时，B 整除 A，即 B 是 A 的因式。

算例

(2x³ − 3x² + 4x − 5) ÷ (x² − x + 1)：长除得商 2x − 1、余 x − 4，可验证 (x² − x + 1)(2x − 1) + (x − 4) = 2x³ − 3x² + 4x − 5。

精度：系数以 BigInt 有理数（最简分数）存储与运算，加减乘除全部精确，除法商中出现的分数系数（如 (x² + 1) ÷ (2x) 的商 ½x）也保留为分数而非小数近似。

常见问题

多项式的加、减、乘、除分别是怎么算的？: 加减法是「合并同类项」：把次数相同的项的系数相加或相减，如 (x²+2x+1)+(x+1)=x²+3x+2、(x²+2x+1)−(x+1)=x²+x。乘法用分配律逐项相乘再合并，如 (x−1)(x+1)=x²−1、(x²−1)(x+1)=x³+x²−x−1。除法用多项式长除法（带余除法）：得到商式 Q 与余式 R，满足 A=B·Q+R 且余式次数小于除式次数，如 (x²+1)÷(x−1)=x+1 余 2。本工具四种运算都用 BigInt 有理数精确计算，不会有小数误差。
多项式长除法（带余除法）怎么做？余式是什么？: 长除法和整数竖式除法类似：每一步用被除式当前最高次项除以除式的最高次项得到商的一项，乘回除式后从被除式中减去，降低次数，重复到余式的次数低于除式为止。最终得到商式 Q 和余式 R，满足 A = B·Q + R，且 deg R < deg B。例如 (x²+1)÷(x−1)：商 x+1、余 2，即 x²+1=(x−1)(x+1)+2。当余式为 0 时，说明 B 能整除 A（B 是 A 的因式）。本工具会同时给出商式、余式，并标注是否整除。
系数可以是分数或小数吗？除法结果会不会出现分数？: 可以。系数支持整数、分数（写成 1/2）和小数（写成 0.5），工具内部统一转成最简分数做精确运算。加减乘的结果对整系数输入仍是整系数；但除法的商式即使输入是整系数也可能出现分数系数——这是正常的，例如 (x²+1)÷(2x) 的商为 1/2x（即 ½x）、余 1。本工具用有理数运算精确保留这些分数，结果以最简分数形式（如 1/2x）显示，不会四舍五入成小数近似值。
输入格式有什么要求？x²、x^2、2*x 这些都支持吗？: 都支持。次数可以用脱字符 ^（x^2、x^3）或 Unicode 上标（x²、x³），也接受 ** （x**2）；系数与变量之间的乘号可写 *、· 或直接省略（2x 等于 2*x）。项与项之间用 + 或 − 连接，空格随意。缺项按 0 计，例如 x^3 − 1 表示 x³+0·x²+0·x−1。指数必须是非负整数。若格式无法识别（如 x^ 后面没有数字、出现负指数），工具会提示检查输入。
输入的多项式有次数或长度上限吗？x 的次数最高能到多少？: 有一个较宽松的上限：单个多项式的最高次数约定为 100（即指数最大为 100），指数必须是非负整数；项数不限，缺项按 0 计。系数可用整数、分数（1/2）或小数（0.5），内部统一按最简分数精确运算。若输入的次数超过 100（如 x^101），或出现负指数、非整数指数（如 x^-1、x^0.5），工具会提示检查输入。日常代数练习、竖式长除法与验算的题目通常都在这个范围内。
多项式的次数（degree）是什么？零多项式的次数怎么算？: 多项式的次数是它最高次非零项的指数，如 2x³−x+5 的次数是 3，常数 7 的次数是 0。运算会改变次数：两个多项式相乘，积的次数等于两者次数之和；相加减时，次数一般取两者较大者，但最高次项若相互抵消，次数会降低（如 (x²+x)−(x²−1)=x+1，次数从 2 降到 1）。零多项式（结果为 0）通常约定次数为 −1 或「无定义」，本工具在结果为 0 时标注为「零多项式」。
多项式运算和因式分解、解方程有什么关系？: 它们紧密相关。因式分解是把多项式写成因式相乘，是乘法的逆运算：若 A÷B 余式为 0，则 B 是 A 的一个因式。解方程是求使多项式等于 0 的根；由余数定理，A 除以 (x−c) 的余数等于把 x=c 代入 A 的值，余数为 0 说明 c 是根、(x−c) 是因式。所以想分解二次三项式可用配套的「因式分解计算器」，想求一元二次方程的根可用「一元二次方程计算器」，本工具专注于多项式之间的加减乘除运算与化简。

怎么用