复数计算器
在线复数计算器把两个复数 a+bi 的和、差、积、商，以及各自的模长、辐角、共轭、倒数放在一页算清；能整除或能开尽时给精确值，否则按所选小数位给近似值。
加减乘、共轭为精确值；除法、模长、辐角、倒数为无理数或无限小数时按此小数位四舍五入（前带 ≈）。
积 z₁·z₂ = 17 − 19i；商 z₁÷z₂ = -0.22 + 0.46i。加减乘与共轭为精确值，除法与模长、辐角、倒数为无理数或无限小数时按所选小数位近似（前带 ≈）。
怎么用
- 填入两个复数：把 z₁ 写成 a + bi 的形式，在「复数 z₁」下分别填实部 a 和虚部 b（i 的系数）；把 z₂ 写成 c + di，填实部 c 和虚部 d。实部、虚部都可以是负数或小数；纯实数把虚部填 0，纯虚数把实部填 0。
- 读四则运算结果：工具立即给出 z₁+z₂、z₁−z₂、z₁·z₂ 和 z₁÷z₂。加、减、乘、共轭为精确值；除法能整除时给精确值，否则按所选小数位四舍五入并在前面标 ≈。z₂ 为 0 时不能作除数，商显示「不存在」。
- 读模长、辐角、共轭、倒数：结果区还分别给出 z₁、z₂ 的共轭 z̄、模长 |z|、辐角 θ（同时给角度与弧度）、倒数 1/z。模长能开尽时显示整数值或最简根式（如 √8 = 2√2），开不尽时给近似值；零复数没有辐角与倒数，会标「不存在」。
- 按需调整小数位：模长、辐角、除法、倒数为无理数或无限小数时，可在「小数位数」处切换 2/4/6/10 位控制近似精度。加减乘与共轭恒为精确值，不受小数位影响。
核心要点
在线复数计算器输入两个复数 z₁ = a + bi、z₂ = c + di，一页核对四则运算与模长、辐角、共轭、倒数； 零复数、纯实数、纯虚数等情形会自动处理。
- 加减（精确）：
(a+bi)±(c+di) = (a±c)+(b±d)i。 - 乘法（精确）：
(a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i。 - 除法：
(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²)， 能整除给精确值，否则按小数位近似。 - 模长：
|z| = √(a²+b²)，可精确化时显示整数值或最简根式（如√8 = 2√2）。 - 辐角：
θ = atan2(b, a)，主值 (−180°, 180°]， 给角度与弧度。 - 还给全：共轭
z̄ = a−bi、倒数1/z = z̄/|z|²。
算例：z₁=3+2i、z₂=1−7i 时，积为 17−19i；(1+i)/(1−i) = i；|3+4i| = 5、辐角约 53.13°。
原理与公式
复数写成 z = a + bi，其中 a 是实部、b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i² = −1。当 b = 0 时退化为实数，所以实数是复数的特例。 设 z₁ = a + bi、z₂ = c + di：
加减法（逐部分）
z₁ ± z₂ = (a ± c) + (b ± d)i，实部、虚部分别相加减。
乘法（展开并用 i² = −1）
z₁ · z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i。
除法（分母共轭有理化）
分子分母同乘分母的共轭 c − di，把分母化为实数：z₁ / z₂ = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)（z₂ ≠ 0）。
模长与共轭
共轭 z̄ = a − bi，满足 z · z̄ = a² + b² = |z|²； 模长 |z| = √(a² + b²)（复平面到原点的距离，即距离公式）； 倒数 1/z = z̄ / |z|² = (a − bi)/(a² + b²)。
辐角与极坐标形式
辐角 θ = atan2(b, a)，主值范围 (−180°, 180°]； 结合模长 r = |z| 得三角（极坐标）形式 z = r(cos θ + i·sin θ)。零复数没有辐角。
算例
乘法：z₁ = 3 + 2i、z₂ = 1 − 7i，z₁·z₂ = (3 + 14) + (−21 + 2)i = 17 − 19i。
除法：(1 + i)/(1 − i) = (1 + i)²/2 = 2i/2 = i。
模长与辐角：|3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5， 辐角 θ = atan2(4, 3) ≈ 53.13°；|1 + i| = √2 = 1·√2 ≈ 1.414， 辐角 45°。
精度：加、减、乘、共轭以及模长根号内的平方和 a² + b² 用整数定点（BigInt）精确计算， 大整数/小数也不丢精度；除法能整除时判定并给精确值，遇无限循环小数时按所选小数位 四舍五入；模长能开尽给精确值或最简根式，否则近似；辐角为无理数，用高精度十进制 （decimal.js，约 40 位有效数字）代入 atan2 后四舍五入。
常见问题
- 复数怎么进行加减乘除？
- 把复数写成 a+bi 的形式（i 是虚数单位，i²=−1），四则运算规则如下：加减法按实部、虚部分别相加减，(a+bi)±(c+di) = (a±c)+(b±d)i；乘法按多项式展开并用 i²=−1，(a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i；除法先分子分母同乘分母的共轭 (c−di)，把分母变成实数，(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²)。例如 (3+2i)(1−7i) = (3+14)+(−21+2)i = 17−19i。本工具把四则运算一次全给出，乘法与加减为精确值，除法能整除时也给精确值。
- 复数的模长（绝对值）怎么求？
- 复数 z=a+bi 的模长（也叫绝对值、模）是它在复平面上到原点的距离：|z| = √(a²+b²)，本质就是勾股定理／距离公式。例如 |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5；|1+i| = √2 ≈ 1.414。很多复数的模长是无理数写不成有限小数，这时工具给四舍五入的近似值（前带 ≈），并尽量给出最简根式，如 |2+2i| = √8 = 2√2。模长满足 |z₁z₂| = |z₁||z₂|，是判断复数「大小」的标准。
- 复数的辐角（幅角）是什么？怎么算？
- 辐角 θ 是复数 z=a+bi 在复平面上对应的向量与正实轴的夹角，用 θ = atan2(b, a) 计算，本工具取主值范围 (−180°, 180°]（即 (−π, π]）。判断象限：正实数 θ=0°，正虚数 θ=90°，负实数 θ=180°，负虚数 θ=−90°；例如 1+i 在第一象限，θ=45°；−1+i 在第二象限，θ=135°。工具同时给出角度和弧度。零复数没有方向，因此辐角没有定义。有了模长 r=|z| 和辐角 θ，就能写成极坐标／三角形式 z = r(cos θ + i·sin θ)。
- 复数怎么化成极坐标形式（三角形式）？
- 极坐标（三角）形式把复数 z=a+bi 写成模长和辐角的组合：z = r(cos θ + i·sin θ)，其中 r=|z|=√(a²+b²) 是模长，θ=atan2(b, a) 是辐角。步骤是先算模长 r，再算辐角 θ，代入即可。例如 1+i 的模长 r=√2、辐角 θ=45°，所以 1+i = √2(cos45° + i·sin45°)；−1 的模长 r=1、辐角 θ=180°，即 −1 = cos180° + i·sin180°。本工具在结果区同时给出每个复数的模长与辐角（角度、弧度都有），照公式代入就能写出极坐标形式；反过来由 r 和 θ 也能还原成 a+bi。
- 共轭复数和倒数是什么意思？
- 共轭复数 z̄ 是把虚部取相反数：z=a+bi 的共轭是 z̄=a−bi，它与 z 关于实轴对称，满足 z·z̄ = a²+b² = |z|²（一个非负实数）。共轭是复数除法的关键：分子分母同乘分母的共轭即可把分母实数化。倒数 1/z = z̄/|z|² = (a−bi)/(a²+b²)，例如 1/(1+i) = (1−i)/2 = 0.5−0.5i。零复数 0 没有倒数（不能作分母），工具会标「不存在」。本工具对 z₁、z₂ 都给出共轭与倒数。
- 虚数单位 i 是什么？i² 为什么等于 −1？
- 虚数单位 i 定义为 i²=−1，它让「负数开平方」有意义——在实数范围内 x²=−1 无解，引入 i 后 x=±i。由此 i 的幂呈周期 4 循环：i¹=i，i²=−1，i³=−i，i⁴=1，再往后重复。复数 a+bi 由实部 a 和虚部 b 组成，把实数扩展到二维的复平面（横轴实部、纵轴虚部）。当虚部 b=0 时复数退化为实数，所以实数是复数的特例。本工具中把某个复数的虚部填 0，就是在算纯实数。
- 这个复数计算器的结果精确吗？大数或小数会丢精度吗？
- 加、减、乘、共轭是分量的乘加，工具用整数定点（BigInt）精确计算，即使实部虚部是很大的整数或多位小数也不会丢精度、不受有效数字上限限制，结果为精确值；除法在能整除（结果为有限小数）时也给精确值，遇到无限循环小数时按所选小数位四舍五入并标 ≈。模长、辐角为无理数时，用高精度十进制（约 40 位有效数字）代入公式后四舍五入。所有计算都在你的浏览器本地完成，不上传数据。