点积（数量积）怎么算？结果代表什么？

点积（也叫数量积、内积）把两个向量对应分量相乘再相加，结果是一个标量（数）。平面：A·B = a₁b₁ + a₂b₂；空间：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。例如 A=(1,2,3)、B=(4,5,6)，A·B = 4+10+18 = 32。几何上 A·B = |A||B|cos θ，其中 θ 是两向量的夹角，所以点积可用来求夹角、判断方向：点积为正说明夹角是锐角、为 0 说明两向量垂直、为负说明是钝角。

叉积（向量积）怎么算？为什么平面和空间结果不一样？

叉积（向量积、外积）只在三维空间里得到一个向量：A×B =（a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁），它同时垂直于 A 和 B，方向由右手定则确定，模长 |A×B| = |A||B|sin θ 等于以 A、B 为邻边的平行四边形面积。例如 (1,2,3)×(4,5,6) = (−3, 6, −3)。平面上没有「第三个方向」，习惯上把平面向量的叉积记为标量 a₁b₂ − a₂b₁（即三维叉积的 z 分量），它的绝对值同样是平行四边形面积，正负号表示 B 在 A 的逆时针还是顺时针方向。本工具按所选维度自动给出对应形式。

点积和叉积有什么区别？分别在什么时候用？

点积的结果是标量，叉积的结果在三维是向量（平面记作标量）。点积 A·B = |A||B|cos θ，随夹角变化：用来求夹角、判断垂直（点积=0）、求投影、算功（力·位移）。叉积 |A×B| = |A||B|sin θ：用来求面积、求同时垂直于两向量的法向量、判断三点共线（叉积为 0）、算力矩和角动量。一个测「同向程度」，一个测「垂直程度/张成面积」，两者互补。本工具把它们和加减、模长、夹角一起算出，方便对照。

怎么求两个向量的夹角？

由点积公式反解：cos θ = (A·B) / (|A|·|B|)，再取反余弦 θ = arccos(cos θ)，得到 0°~180° 之间的夹角。例如 A=(1,0)、B=(1,1)，cos θ = 1/√2 ≈ 0.7071，θ = 45°。当 A·B = 0 时 θ = 90°（垂直）；cos θ = 1 时 θ = 0°（同向平行）；cos θ = −1 时 θ = 180°（反向平行）。本工具会给出角度、弧度和 cos θ，并标注垂直/平行等特殊情形。若任一向量是零向量，则夹角没有定义。

向量的模长是什么？为什么有的结果是根式？

模长（长度、大小）是向量到原点的距离：平面 |A| = √(a₁² + a₂²)，空间 |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)，本质是距离公式。例如 |(2,3,6)| = √(4+9+36) = √49 = 7。很多向量的模长是无理数，比如 |(1,2)| = √5 ≈ 2.236068，写不成有限小数，这时工具给出四舍五入的近似值（前带 ≈），并尽量给出「最简根式」，如 |(2,2)| = √8 = 2√2。对于极大的可开方模长，结果区可能按展示上限给近似值，精确形式可用平方和根号表达。

单位向量和标量投影是什么意思？

单位向量是与原向量同方向、长度为 1 的向量：Â = A / |A|，即把每个分量都除以模长。例如 (3,4) 的单位向量是 (0.6, 0.8)。零向量没有方向，故没有单位向量。标量投影 comp_B A = (A·B)/|B| = |A|cos θ，表示 A 在 B 方向上的「影子」长度（可正可负，负号表示反向）。它在物理里对应「沿某方向的分量」，在几何里用于分解向量。本工具同时给出 A、B 的单位向量与 A 在 B 上的标量投影。

分量可以是负数或小数吗？零向量能算吗？

可以。各分量都允许为负数或小数。点积、叉积、加减法为分量的乘加，工具用整数定点（BigInt）精确计算，即便分量是很大的整数或小数也不会丢失精度、不受有效数字上限限制，结果为精确值；模长、夹角、单位向量、投影为无理数时，用高精度十进制（约 40 位有效数字）按所选小数位四舍五入。零向量（所有分量为 0）也能参与加减、点积、叉积（结果仍有意义），但它长度为 0、没有方向，因此没有单位向量，与它的夹角也没有定义，工具会明确标注「不存在」。

向量运算在实际中有什么用？

向量是物理、工程、计算机图形和数据科学的通用语言：力、速度、位移都是向量，点积算功与投影、叉积算力矩与面积；三维建模和游戏里用叉积求表面法线、用点积做光照与夹角判断；导航与制图里用向量求方向与距离；机器学习里的相似度（余弦相似度）本质就是点积除以模长。掌握点积、叉积、模长与夹角，就掌握了向量代数的核心运算。本工具帮你在这些场景里快速验算。

向量计算器

在线向量计算器把二维/三维向量的点积、叉积、加减、模长、夹角、单位向量和投影放在一页验算；零向量、平行、垂直等边界会同步提示。

维度

平面向量填 2 个分量、空间向量填 3 个分量。分量可为负数或小数。叉积在平面下为一个标量（面积），在空间下为一个向量。

向量 A (x, y, z)

A_x

A_y

A_z

向量 B (x, y, z)

B_x

B_y

B_z

小数位数（近似值）

点积 A · B

叉积 A × B（向量）(-3, 6, -3)A + B(5, 7, 9)A − B(-3, -3, -3)模长 |A|≈ 3.741657（= √14）模长 |B|≈ 8.774964（= √77）夹角 θ12.933154°夹角（弧度）0.225726 radcos θ0.974632单位向量 Â(0.267261, 0.534522, 0.801784)单位向量 B̂(0.455842, 0.569803, 0.683763)A 在 B 上的标量投影3.646738

点积 A · B = 32。叉积 A × B = (-3, 6, -3)，它同时垂直于 A 和 B，其模长等于以 A、B 为邻边的平行四边形面积。两向量夹角约 12.933154°。

怎么用

选择维度（平面或空间）：在「维度」处选择：平面向量用 (x, y) 两个分量，选「平面」；空间向量用 (x, y, z) 三个分量，选「空间」。两个向量必须同维度才能做运算。
填入两个向量的分量：在「向量 A」下填 A 的各分量，在「向量 B」下填 B 的各分量。分量可以是负数或小数。零向量（全部为 0）也允许，只是它没有方向、单位向量和夹角。
读结果：工具立即给出：点积 A·B、叉积 A×B（平面为标量、空间为向量）、A+B 与 A−B、模长 |A| 与 |B|、两向量夹角 θ（度与弧度）、单位向量 Â、B̂，以及 A 在 B 上的标量投影。常规可精确化的结果会显示整数值或最简根式；无理数和超过展示上限的结果按所选小数位显示近似值。
按需调整小数位：模长、夹角、单位向量、投影为无理数时，可在「小数位数」处切换 2/4/6/10 位控制近似精度。点积、叉积、加减法为分量的乘加，恒为精确值。

核心要点

在线向量计算器输入两个同维向量 A、B，一页核对点积、叉积、夹角、投影和模长；遇到零向量、平行、垂直等边界时，结果区会同步提示。

点积（标量）：A·B = Σ aᵢbᵢ；= |A||B|cos θ，点积为 0 表示垂直。
叉积：空间为向量A×B =(a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)，垂直于 A、B；平面记作标量 a₁b₂−a₂b₁（= 平行四边形面积）。
模长：|A| = √(Σ aᵢ²)，常规可精确化时显示整数值或最简根式（如 √8 = 2√2）；其余按小数位给近似值。
夹角：cos θ = (A·B)/(|A||B|)，给出角度、弧度并标注垂直/平行。
还给全：A+B、A−B、单位向量 Â、B̂、A 在 B 上的标量投影。
高精度：点积、叉积、加减与平方和用整数定点精确计算（大整数/小数不丢精度），无理量（模长、夹角、投影）约 40 位有效数字近似，全部在浏览器本地完成。

算例：A=(1,2,3)、B=(4,5,6) 时，点积为 32，叉积为 (−3, 6, −3)；A=(1,0)、B=(0,1) 时点积为 0、夹角为 90°。

原理与公式

向量由一组分量表示，本工具对两个同维向量A、B 做向量代数运算。设 A = (a₁, a₂[, a₃])、B = (b₁, b₂[, b₃])：

加减法与数乘（逐分量）

A ± B = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂[, a₃ ± b₃])，逐分量相加减。

点积（数量积 / 内积）

A · B = a₁b₁ + a₂b₂ [+ a₃b₃]，结果是一个标量；又有 A · B = |A| |B| cos θ。点积为正 → 夹角为锐角；为 0 → 两向量垂直；为负 → 钝角。

叉积（向量积 / 外积）

三维：A × B = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)，结果是一个同时垂直于 A 和 B 的向量，方向由右手定则确定，模长 |A × B| = |A| |B| sin θ 等于以 A、B 为邻边的平行四边形面积。

二维：平面没有第三个方向，习惯上把叉积记为标量 a₁b₂ − a₂b₁（即三维叉积的 z 分量），其绝对值同样是平行四边形面积，符号表示旋转方向。

模长与单位向量

|A| = √(a₁² + a₂² [+ a₃²])（本质是距离公式）；单位向量 Â = A / |A|，方向不变、长度为 1。

夹角与投影

cos θ = (A · B) / (|A| |B|)，θ = arccos(cos θ)，范围 0° ~ 180°；A 在 B 上的标量投影 comp_B A = (A · B) / |B| = |A| cos θ。

算例

点积：A=(1,2,3)、B=(4,5,6)，A·B = 4 + 10 + 18 = 32。

叉积：同上，A×B = (2·6−3·5, 3·4−1·6, 1·5−2·4) = (−3, 6, −3)。

夹角：A=(1,0)、B=(1,1)，cos θ = 1/√2 ≈ 0.7071，θ = 45°。

模长与根式：|(2,2)| = √8 = 2√2 ≈ 2.828427；|(2,3,6)| = √49 = 7。

精度：点积、叉积、加减法以及模长根号内的平方和 Σaᵢ² 用整数定点（BigInt）精确计算，即使分量是很大的整数或小数也不会丢精度、不受有效数字上限限制；模长能开尽时判定并给出精确值/最简根式，开不尽时四舍五入到所选小数位；夹角、单位向量、投影为无理数，用高精度十进制（decimal.js，约 40 位有效数字）代入公式后四舍五入。

常见问题

点积（数量积）怎么算？结果代表什么？: 点积（也叫数量积、内积）把两个向量对应分量相乘再相加，结果是一个标量（数）。平面：A·B = a₁b₁ + a₂b₂；空间：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。例如 A=(1,2,3)、B=(4,5,6)，A·B = 4+10+18 = 32。几何上 A·B = |A||B|cos θ，其中 θ 是两向量的夹角，所以点积可用来求夹角、判断方向：点积为正说明夹角是锐角、为 0 说明两向量垂直、为负说明是钝角。
叉积（向量积）怎么算？为什么平面和空间结果不一样？: 叉积（向量积、外积）只在三维空间里得到一个向量：A×B =（a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁），它同时垂直于 A 和 B，方向由右手定则确定，模长 |A×B| = |A||B|sin θ 等于以 A、B 为邻边的平行四边形面积。例如 (1,2,3)×(4,5,6) = (−3, 6, −3)。平面上没有「第三个方向」，习惯上把平面向量的叉积记为标量 a₁b₂ − a₂b₁（即三维叉积的 z 分量），它的绝对值同样是平行四边形面积，正负号表示 B 在 A 的逆时针还是顺时针方向。本工具按所选维度自动给出对应形式。
点积和叉积有什么区别？分别在什么时候用？: 点积的结果是标量，叉积的结果在三维是向量（平面记作标量）。点积 A·B = |A||B|cos θ，随夹角变化：用来求夹角、判断垂直（点积=0）、求投影、算功（力·位移）。叉积 |A×B| = |A||B|sin θ：用来求面积、求同时垂直于两向量的法向量、判断三点共线（叉积为 0）、算力矩和角动量。一个测「同向程度」，一个测「垂直程度/张成面积」，两者互补。本工具把它们和加减、模长、夹角一起算出，方便对照。
怎么求两个向量的夹角？: 由点积公式反解：cos θ = (A·B) / (|A|·|B|)，再取反余弦 θ = arccos(cos θ)，得到 0°~180° 之间的夹角。例如 A=(1,0)、B=(1,1)，cos θ = 1/√2 ≈ 0.7071，θ = 45°。当 A·B = 0 时 θ = 90°（垂直）；cos θ = 1 时 θ = 0°（同向平行）；cos θ = −1 时 θ = 180°（反向平行）。本工具会给出角度、弧度和 cos θ，并标注垂直/平行等特殊情形。若任一向量是零向量，则夹角没有定义。
向量的模长是什么？为什么有的结果是根式？: 模长（长度、大小）是向量到原点的距离：平面 |A| = √(a₁² + a₂²)，空间 |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)，本质是距离公式。例如 |(2,3,6)| = √(4+9+36) = √49 = 7。很多向量的模长是无理数，比如 |(1,2)| = √5 ≈ 2.236068，写不成有限小数，这时工具给出四舍五入的近似值（前带 ≈），并尽量给出「最简根式」，如 |(2,2)| = √8 = 2√2。对于极大的可开方模长，结果区可能按展示上限给近似值，精确形式可用平方和根号表达。
单位向量和标量投影是什么意思？: 单位向量是与原向量同方向、长度为 1 的向量：Â = A / |A|，即把每个分量都除以模长。例如 (3,4) 的单位向量是 (0.6, 0.8)。零向量没有方向，故没有单位向量。标量投影 comp_B A = (A·B)/|B| = |A|cos θ，表示 A 在 B 方向上的「影子」长度（可正可负，负号表示反向）。它在物理里对应「沿某方向的分量」，在几何里用于分解向量。本工具同时给出 A、B 的单位向量与 A 在 B 上的标量投影。
分量可以是负数或小数吗？零向量能算吗？: 可以。各分量都允许为负数或小数。点积、叉积、加减法为分量的乘加，工具用整数定点（BigInt）精确计算，即便分量是很大的整数或小数也不会丢失精度、不受有效数字上限限制，结果为精确值；模长、夹角、单位向量、投影为无理数时，用高精度十进制（约 40 位有效数字）按所选小数位四舍五入。零向量（所有分量为 0）也能参与加减、点积、叉积（结果仍有意义），但它长度为 0、没有方向，因此没有单位向量，与它的夹角也没有定义，工具会明确标注「不存在」。
向量运算在实际中有什么用？: 向量是物理、工程、计算机图形和数据科学的通用语言：力、速度、位移都是向量，点积算功与投影、叉积算力矩与面积；三维建模和游戏里用叉积求表面法线、用点积做光照与夹角判断；导航与制图里用向量求方向与距离；机器学习里的相似度（余弦相似度）本质就是点积除以模长。掌握点积、叉积、模长与夹角，就掌握了向量代数的核心运算。本工具帮你在这些场景里快速验算。

怎么用