盲盒集齐概率计算器

6 款常规款的盲盒平均要买约 14.7 盒才能集齐，12 款约 37.2 盒，款数越多重复越多。 这是数学上的「集券问题」：每盒独立随机、各常规款概率相同时，集齐一套的期望盒数 = 款数 × 调和数。

• 「集齐一套」在本页指集齐全部常规款，不含隐藏款。
• 有隐藏款时，抽到隐藏款的那盒不贡献常规款，期望盒数要再除以（1 − 1/X）。
• 隐藏款 1/X 的意思是平均每 X 盒出 1 个，不是买满 X 盒保底。
• 期望盒数不等于「买这么多就够」：12 款无隐藏款时，买 35 盒集齐的概率约 53.18%，买 37 盒约 59.28%，要到约 90% 得买 55 盒左右，约为期望值的 1.5 倍。
• 算预算时可以用「期望盒数 × 单盒价」粗估：12 款、单盒 59 元，平均约 37.24 × 59 ≈ 2197 元；再和缺的那几款单独购买的价格对比，哪种更合适按自己的预算判断。
• 整端购买通常同一端内不重复，实际所需盒数会比本页的独立抽取结果少。

模型假设

每一盒都是独立抽取：以概率 h = 1/X 抽到隐藏款，否则在 n 个常规款里等概率抽 1 个。于是每个常规款每盒的概率是 q = (1 − h) ÷ n。 没有隐藏款时 h = 0，q = 1/n。

集齐一套的期望盒数（集券问题）

已经有 k − 1 款时，下一盒是新款的概率是 (n − k + 1) × q， 等到新款的盒数服从几何分布，平均要 1 ÷ [(n − k + 1) × q] 盒。把 n 个阶段加起来：

E = n ÷ (1 − h) × H_n，其中 H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n

例：6 个常规款、没有隐藏款，E = 6 × (1 + 1/2 + … + 1/6) = 6 × 49/20 = 14.70 盒。最后一款每盒只有 1/6 的机会，单这一款平均就要 6 盒。

买 m 盒能集齐的概率（容斥原理）

「m 盒里至少缺一款」用容斥原理计算，取反得到集齐概率：

P(集齐) = Σ(j=0..n) (−1)^j × C(n, j) × (1 − j × q)^m

例：3 个常规款、买 4 盒，1 − 3 × (2/3)^4 + 3 × (1/3)^4 = 36/81 = 4/9 ≈ 44.4444%，与逐一枚举 3⁴ = 81 种结果中 36 种集齐的结论一致。盒数少于款数时概率为 0。

隐藏款：1/X 换算与至少抽到 1 个的概率

隐藏款「1/144」即 h = 1/144，抽到第一个隐藏款的期望盒数是 1/h = 144 盒；百分比 p% 换成 X 用 X = 100 ÷ p。买 m 盒至少 1 个隐藏款的概率：

P(隐藏款) = 1 − (1 − h)^m

例：12 个常规款 + 1/144 隐藏款、买 36 盒：集齐常规款的期望是 12 × 144/143 × H_12 ≈ 37.50 盒（没有隐藏款时 37.24 盒）；36 盒内集齐常规款的概率约 55.5162%，至少抽到 1 个隐藏款的概率 1 − (143/144)^36 ≈ 22.1878%。

计算精度与适用范围

全程用 120 位有效数字的十进制运算，只在最后舍入一次：期望盒数保留 2 位小数，概率保留 4 位小数；不足 0.0001% 的概率保留 4 位有效数字，接近 100% 但未到时显示「>99.9999%」。 本页不计算常规款概率不等（某款偏稀有）、多个隐藏款、含隐藏款的全收集，也不计算端盒不重复、摇盒挑选、交换补款等非独立抽取的情况。