杠杆计算器
按杠杆平衡条件 F₁×d₁ = F₂×d₂，已知动力、动力臂、阻力、阻力臂中任意三个求第四个，并给出力矩与机械利益。
杠杆平衡条件 F₁ × d₁ = F₂ × d₂。填写四项中任意三个，留空第四个，自动求出剩余那个，并给出力矩与机械利益。
已作为已知量参与计算。
已作为已知量参与计算。
已作为已知量参与计算。
省力杠杆（MA>1）：动力小于阻力，但动力臂更长、移动距离更大。
基于 F₁·d₁ = F₂·d₂ 求解：F₁=50 N、d₁=1 m、F₂=100 N、d₂=0.5 m（基准单位值，已按 8 位有效数字收口）。
怎么用
- 认清杠杆的四个量：杠杆平衡涉及动力 F₁、动力臂 d₁、阻力 F₂、阻力臂 d₂ 四个量。力臂是支点到力作用线的垂直距离，不是支点到作用点的直线长度。平衡条件为 F₁×d₁ = F₂×d₂。
- 填入已知的三个量：在对应输入框填数值，右侧下拉框选单位（力 N/kN/kgf，力臂 m/cm/mm）。要求解的那一项留空即可。
- 读取求解结果：页面立即算出留空的那个量，并给出两侧力矩 M（应相等）和机械利益 MA=d₁/d₂=F₂/F₁，同时用便于阅读的单位显示（如 0.005m 显示为 5mm）。
- 换一个求解目标：想反过来求别的量，清空已填的框、改填另外三个即可。例如已知阻力、阻力臂和动力臂，可反推需要的动力 F₁=F₂×d₂÷d₁。
核心要点
杠杆在动力矩等于阻力矩时保持平衡；本页按理想刚性杠杆试算， 适合物理题核对、省力工具选型和粗略工程估算。
- 平衡条件：
F₁×d₁ = F₂×d₂（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂），四个量已知三个即可求第四个。 - 力臂是支点到力作用线的垂直距离，不是支点到作用点的直线长度——量错力臂是最常见的错误。
- 机械利益
MA = d₁/d₂ = F₂/F₁：MA>1 省力、MA<1 费力、MA=1 等臂（天平）。 - 算例：阻力 100N、阻力臂 0.5m、动力臂 1m 时，动力约 50N，MA=2（省一半力）。
原理与公式
杠杆是一根能绕固定点（支点）转动的硬棒。当作用在杠杆上的动力矩与阻力矩相等时，杠杆保持平衡 （静止或匀速转动）。这就是杠杆平衡条件（杠杆原理）：
F₁ × d₁ = F₂ × d₂（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂）
其中力矩（转动效果）M = F × d，力臂 d是支点到力作用线的垂直距离。因此只要给定四个量中任意三个，就能解出第四个，四种组合：
已知 d₁、F₂、d₂ → F₁ = F₂·d₂ / d₁已知 F₁、F₂、d₂ → d₁ = F₂·d₂ / F₁已知 F₁、d₁、d₂ → F₂ = F₁·d₁ / d₂已知 F₁、d₁、F₂ → d₂ = F₁·d₁ / F₂
算例：要撬起阻力 3000N 的石头，动力臂 1.5m、阻力臂 0.1m，则所需动力 F₁ = 3000 × 0.1 ÷ 1.5 = 200N，机械利益 MA = 1.5 ÷ 0.1 = 15（省力 15 倍）。为避免浮点误差，全程用高精度十进制计算，结果按 8 位有效数字收口。
机械利益：MA = d₁/d₂ = F₂/F₁，衡量杠杆放大动力的倍数。 MA>1 为省力杠杆（撬棍、开瓶器）；MA<1 为费力杠杆（镊子、钓竿）， 费力换取更大的移动距离与速度；MA=1 为等臂杠杆（天平）。注意杠杆省力不省功：功 W = F×s，省力的同时动力要移动更长距离。
注意：本模型为理想刚性杠杆的静态平衡，忽略杠杆自重、摩擦与形变； 力臂须取垂直距离；力与力臂均按正的标量大小计算（须大于 0）。
常见问题
- 杠杆平衡的公式是什么？怎么用？
- 杠杆平衡（杠杆原理）为 F₁×d₁ = F₂×d₂：动力 F₁ 乘动力臂 d₁ 等于阻力 F₂ 乘阻力臂 d₂，即两侧力矩相等。变形可得 F₁=F₂×d₂÷d₁、d₁=F₂×d₂÷F₁ 等。只要知道四个量中任意三个，就能求出第四个。例如阻力 100N、阻力臂 0.5m、动力臂 1m，则动力 F₁ = 100×0.5÷1 = 50N。
- 力臂到底怎么量？是支点到手的距离吗？
- 力臂是「支点到力的作用线的垂直距离」，不是支点到力作用点的直线距离。只有当力与杠杆垂直时，力臂才恰好等于支点到作用点的长度。如果力是斜着作用的，力臂要取垂直距离（即作用点到支点距离乘以夹角的正弦）。量错力臂是杠杆计算最常见的错误，本工具按已经确定的力臂长度直接代入 F₁×d₁ = F₂×d₂ 计算。
- 力是斜着作用时，力臂和力矩怎么算？有例子吗？
- 当力与杠杆不垂直时，力臂不等于支点到作用点的距离 r，而要取垂直分量 d = r×sinθ（θ 为力与杠杆的夹角），力矩 M = F×d = F×r×sinθ。举例：力 F=100N 作用在距支点 r=0.5m 处、与杠杆成 30° 夹角，则力臂 d = 0.5×sin30° = 0.25m，力矩 M = 100×0.25 = 25 N·m，只有垂直施力（θ=90°，d=0.5m，M=50 N·m）时的一半。可见同样大小的力，方向越接近垂直、力臂越长，转动效果越强。本工具按你已确定的力臂长度直接代入 F₁×d₁ = F₂×d₂，若力是斜向的，请先把它换算成垂直距离 r×sinθ 再填入力臂框。
- 机械利益 MA 是什么？大于 1 就一定好吗？
- 机械利益 MA = 动力臂÷阻力臂 = 阻力÷动力 = d₁/d₂ = F₂/F₁，表示这个杠杆把动力放大了多少倍。MA>1 是「省力杠杆」（如撬棍、开瓶器），用较小的力就能克服较大阻力，但动力要移动更长的距离；MA<1 是「费力杠杆」（如钓鱼竿、镊子），费力却能换取更大的移动距离或速度；MA=1 是「等臂杠杆」（如天平），不省力也不费力。省力并不等于省功——杠杆不能省功（W=F×s），省了力就要多走距离。
- 杠杆有哪几类？动力臂、阻力臂怎么分？
- 按支点、动力、阻力的相对位置分三类：第一类杠杆支点在中间（如跷跷板、剪刀、天平），可省力也可费力；第二类杠杆阻力在中间（如独轮车、开瓶器），动力臂总大于阻力臂，一定省力；第三类杠杆动力在中间（如镊子、人的前臂），动力臂总小于阻力臂，一定费力但灵活。本工具不区分类别，只要给出四个量中三个即可求解——你只需把主动施加的力当作 F₁（动力）、要克服的力当作 F₂（阻力），并量出各自到支点的力臂。
- 为什么要求填三个量而不是全填？
- F₁、d₁、F₂、d₂ 四个量由 F₁×d₁ = F₂×d₂ 一个方程约束，已知三个就能解出第四个；四个都填时，它们可能来自不同题目、彼此未必满足平衡条件。本页按「三个已知量 + 一个留空量」求解，想换求解对象时，先清空不求的那一项，再填另外三个量。四个量都必须大于 0（力和力臂都是正的物理量）。
- 这个计算器有什么适用范围和局限？
- 本工具计算的是理想刚性杠杆的静态平衡（或恰好平衡的临界状态），忽略杠杆自重、摩擦、形变。若杠杆本身较重，需把杠杆重力对支点的力矩一并计入；若考虑转动（有角加速度）而非静态平衡，需用转动定律 M合=I×α。结果用于物理学习、工具选型和粗略工程估算，实际机械设计还需考虑材料强度、安全系数等因素。