半衰期计算器
半衰期计算器按 N = N₀·(1/2)^(t/T½) 做四量互求：已知初始量、剩余量、经过时间、半衰期中任意三个即可求第四个，并给出衰变常数 λ、平均寿命 τ 与剩余百分比，支持时间单位换算与常见同位素预设。
填写初始量 N₀、剩余量 N、经过时间 t、半衰期 T½ 中任意三个量，留空第四个，自动按 N = N₀ × (1/2)^(t / T½) 求出剩余那个，并给出衰变常数 λ、 平均寿命 τ 与经过的半衰期数。N₀ 与 N 用同一单位（个数/质量/百分比皆可）。
已作为已知量参与计算。
已作为已知量参与计算。
已作为已知量参与计算。
基于 N = N₀ × (1/2)^(t/T½) 求解：初始量 N₀=100、 剩余量 N=50、经过 1 个半衰期，剩余 50%。衰变常数与 平均寿命均以「秒」为基准换算，结果按 8 位有效数字收口。
怎么用
- 确定已知的三个量：放射性衰变公式 N = N₀·(1/2)^(t/T½) 涉及初始量 N₀、剩余量 N、经过时间 t、半衰期 T½ 四个量。任意知道其中三个，就能求出第四个。
- 填入这三个量：在对应输入框填数值：初始量 N₀ 与剩余量 N 用同一单位（个数、质量、活度或百分比都行，只看比值），经过时间 t 与半衰期 T½ 在右侧下拉框选择单位（秒/分/时/天/周/月/年）。第四个框留空。半衰期可从「常见同位素」下拉直接带入。
- 留空要求的那个量：想算剩多少就留空剩余量 N；想算用了多久（如碳定年）就留空时间 t；想反推半衰期就留空 T½；已知剩余量反推原始量则留空 N₀。
- 查看求解结果：页面立即算出留空的量，并额外给出经过的半衰期数 n = t/T½、剩余百分比、衰变常数 λ = ln2/T½ 与平均寿命 τ = T½/ln2，时间自动换算成便于阅读的单位。
核心要点
半衰期计算器用于放射性衰变（及一切一级指数衰减）的估算：按 N = N₀ × (1/2)^(t / T½)，知道初始量 N₀、剩余量 N、 经过时间 t、半衰期 T½ 中的任意三个，就能求出第四个。下面几点先帮你 抓住关键：
- 四种互求：已知 N₀、t、T½ 求 N；已知 N、t、T½ 反求 N₀；已知 N₀、N、T½ 反求 t（碳定年）；已知 N₀、N、t 反求 T½。
- 每过一个半衰期减半：经过 n 个半衰期剩 (1/2)ⁿ——1 个剩 50%、2 个剩 25%、3 个剩 12.5%、 5 个约 3.1%、10 个约 0.098%；n 可为小数。
- 三个等价量：半衰期 T½、衰变常数 λ = ln2/T½、平均寿命 τ = T½/ln2 ≈ 1.443·T½ 可互相换算，工具求解后一并给出。
- 碳-14 算例：T½ = 5730 年，样品残留 25%（2 个半衰期）→ 约 11460 年；残留约 70.7% → 约 2866 年。
- 单位与边界：时间支持秒/分/时/天/周/月/年自动换算；N₀、N 用同一单位（比值即可）； 反求时间时剩余量 N 须不大于初始量 N₀（当 N = N₀ 时只得 t = 0）； 反求半衰期时须 N 小于 N₀ 且时间大于 0，否则无法在给定正时间下反推出有限半衰期。
原理与公式
放射性核素的原子数量按指数规律衰减：每经过一个半衰期 T½，剩余数量减少到原来的一半。因此经过时间 t 后的剩余量为：
N = N₀ × (1/2)^(t / T½)
其中指数 n = t / T½ 就是「经过了几个半衰期」，剩余比例 N/N₀ = (1/2)ⁿ。由此可解出四种组合：
已知 N₀、t、T½ → N = N₀·(1/2)^(t/T½)已知 N、t、T½ → N₀ = N·2^(t/T½)已知 N₀、N、T½ → t = T½·ln(N₀/N)/ln2已知 N₀、N、t → T½ = t·ln2/ln(N₀/N)
算例：某核素 T½ = 10 天，起始 100 个原子，经过 30 天 = 3 个半衰期，剩余 N = 100 × (1/2)³ = 12.5 个（12.5%）。反过来，若测得只剩 12.5%，则经过 t = 10 × ln(100/12.5)/ln2 = 10 × 3 = 30 天。为避免浮点误差，工具全程用 高精度十进制（含 ln 与幂运算）计算，结果按 8 位有效数字收口。
衰变常数与平均寿命：微观上衰变律也可写成 N = N₀·e^(−λt)，其中衰变常数 λ = ln2 / T½（单位时间每个原子的衰变概率）。原子的平均 存活时间即平均寿命 τ = 1/λ = T½ / ln2 ≈ 1.443 × T½，比半衰期 长约 44%。三者知其一即可互推，工具求解后一并给出。
活度：单位时间的衰变次数 A = λ·N 称为活度（单位贝可 Bq，1 Bq = 每秒 1 次衰变），它同样按半衰期指数衰减。因此把本工具的「量」 理解为原子数或活度都成立——半衰期越短，λ 越大，同样原子数下活度越高、 衰变越快。
适用范围：本式适用于单一核素的独立衰变，也适用于一切 服从一级动力学的指数衰减（如按一级消除的药物血药浓度、电容放电的类比）。 对衰变链（子体又衰变）、多室药代动力学等需用更复杂模型；样品原子数很少 时衰变有统计涨落，本式给出的是期望值。
常见放射性同位素半衰期对照表
下表为常见放射性同位素的半衰期（教学与估算常用值），可直接在计算器上方 「常见同位素」下拉中选用：
| 同位素 | 符号 | 半衰期 T½ | 说明 |
|---|---|---|---|
| 碳-14 | ¹⁴C | 5,730 年 | 考古碳定年 |
| 氚（氢-3） | ³H | 12.32 年 | — |
| 钴-60 | ⁶⁰Co | 5.27 年 | 放疗/工业探伤 |
| 铯-137 | ¹³⁷Cs | 30.17 年 | 核裂变产物 |
| 锶-90 | ⁹⁰Sr | 28.8 年 | — |
| 碘-131 | ¹³¹I | 8.02 天 | 甲状腺治疗/显像 |
| 锝-99m | ⁹⁹ᵐTc | 6.01 小时 | 核医学显像最常用 |
| 氡-222 | ²²²Rn | 3.82 天 | 室内氡污染 |
| 镭-226 | ²²⁶Ra | 1,600 年 | — |
| 钚-239 | ²³⁹Pu | 24,100 年 | 核燃料/核武 |
| 钾-40 | ⁴⁰K | 1,250,000,000 年 | 钾-氩定年 |
| 铀-235 | ²³⁵U | 704,000,000 年 | — |
| 铀-238 | ²³⁸U | 4,468,000,000 年 | 铀系定年 |
常见问题
- 半衰期计算公式是什么？怎么用？
- 放射性衰变遵循指数规律：N = N₀ × (1/2)^(t/T½)。其中 N₀ 是初始量，N 是经过时间 t 后的剩余量，T½ 是半衰期（数量减少到一半所需的时间）。指数 t/T½ 就是「经过了几个半衰期」。变形可得：N₀ = N × 2^(t/T½)、t = T½ × ln(N₀/N)/ln2、T½ = t × ln2/ln(N₀/N)。只要知道四个量中的任意三个，就能求出第四个。例如 T½=10 天、经过 30 天（=3 个半衰期），剩余为 N₀ 的 (1/2)³ = 1/8 = 12.5%。
- 什么是半衰期？它和衰变常数、平均寿命有什么关系？
- 半衰期 T½ 指放射性核素的数量（或活度）衰减到原来一半所需的时间，是该核素的固有属性，与样品多少、温度、压强等外界条件无关。它和衰变常数 λ（单位时间内每个原子发生衰变的概率）、平均寿命 τ（原子的平均存活时间）可互相换算：λ = ln2 / T½ ≈ 0.693 / T½，τ = 1/λ = T½ / ln2 ≈ 1.443 × T½。也就是说平均寿命比半衰期长约 44%。本工具在求解后会同时给出 λ 与 τ。
- 经过 n 个半衰期还剩多少？
- 每经过 1 个半衰期，剩余量减半，所以经过 n 个半衰期后剩余比例为 (1/2)ⁿ。1 个半衰期剩 50%，2 个剩 25%，3 个剩 12.5%，4 个剩 6.25%，5 个剩 3.125%，7 个约剩 0.78%，10 个约剩 0.098%。注意 n 不必是整数：经过半个半衰期（n=0.5）剩 (1/2)^0.5 ≈ 70.7%。常有人误以为「两个半衰期就衰变完了」，其实每次只减一半、永远不会精确归零，只是越来越接近 0。
- 碳-14 测年是怎么用半衰期算年代的？
- 活体生物体内碳-14 与碳-12 的比例与大气一致；死亡后不再摄入，碳-14 按半衰期 5730 年衰变。测出样品残留的碳-14 比例 N/N₀，代入 t = T½ × ln(N₀/N)/ln2 即得死亡至今的年代。例如残留 25%（=2 个半衰期）对应约 11460 年，残留约 70.7% 对应约 2866 年。本工具「留空时间 t」即可完成这一反推。由于大气碳-14 浓度随时间波动，专业测年还需用树轮等校正曲线，本工具给出的是未校正的理论估算。
- 药物半衰期、生物半衰期也能用这个工具算吗？
- 可以近似。药物的「消除半衰期」指血药浓度下降到一半所需时间，若药物按一级动力学（指数）消除，就同样满足 N = N₀·(1/2)^(t/T½)，把「量」换成血药浓度即可估算某时刻的残留浓度或代谢时间。一般认为经过约 4~5 个半衰期（剩约 3%~6%）药物基本清除。但真实药代动力学可能是多室模型或受剂量、个体差异影响，本工具仅供理解与粗略估算，用药请遵医嘱。
- 半衰期越长表示放射性越强还是越弱？
- 在原子数量相同时，半衰期越短，单位时间内衰变的原子越多，活度（放射性强度）越高、衰变越快；半衰期越长则越「稳定」、活度越低。例如碘-131（8 天）比铀-238（约 45 亿年）活跃得多。这也解释了核医学为何用短半衰期同位素（如锝-99m 约 6 小时）——检查后很快衰变减少对人体的持续照射；而长半衰期的核废料（如钚-239 约 2.4 万年）需要长期封存。