行列式是什么？和矩阵有什么区别？

行列式（determinant）是由一个方阵（行数=列数）算出来的一个标量（单独一个数），记作 det(A) 或 |A|。矩阵是一张数表，而行列式是这张数表按特定规则算出的一个数。行列式只对方阵定义，长方形矩阵没有行列式。几何上，二阶行列式等于以两行（或两列）为邻边的平行四边形的有向面积，三阶行列式等于以三行为棱的平行六面体的有向体积，绝对值表示线性变换对面积/体积的缩放倍数，正负号表示是否改变定向。它最重要的用途是判断方阵是否可逆：det(A)≠0 时可逆（满秩），det(A)=0 时为奇异矩阵、不可逆。

二阶、三阶行列式怎么手算？

二阶行列式用对角线法则：|a b; c d| = ad − bc，即主对角线乘积减去副对角线乘积。例如 |1 2; 3 4| = 1×4 − 2×3 = −2。三阶行列式可用萨吕斯（Sarrus）对角线法则：把矩阵前两列抄到右边，三条「从左上到右下」的对角线乘积之和，减去三条「从右上到左下」对角线乘积之和；公式为 aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh（其中矩阵为 [a b c; d e f; g h i]）。注意 Sarrus 只适用于三阶，四阶及以上不能用对角线法则，要用按行/列展开（余子式）或消元法。本工具下方会列出按第一行展开的每一项，方便对照。

四阶及更高阶行列式怎么算？

高阶行列式常用两种方法：①按行（列）展开的拉普拉斯（Laplace）余子式法——沿某一行展开，det(A)=Σⱼ a₁ⱼ·(−1)^(1+j)·M₁ⱼ，其中 M₁ⱼ 是划去第 1 行第 j 列后剩下的 (n−1) 阶子式行列式；这是把高阶逐层降为低阶。②消元法——用初等行变换把矩阵化成上三角，行列式等于对角线元素之积（每做一次换行乘 −1，某行乘常数 k 则行列式乘 k）。手算高阶时消元法通常更快。本工具采用 Bareiss 分数-free 消元法计算最终值，同时按第一行展开列出各项供你理解与验算。

行列式为 0 代表什么？

det(A)=0 说明该方阵是奇异矩阵：它的各行（或各列）线性相关（存在某一行/列是其它行/列的线性组合），矩阵不满秩，不存在逆矩阵。对线性方程组 Ax=b 而言，系数行列式为 0 意味着方程组要么无解、要么有无穷多解（不是唯一解）；几何上表示线性变换把空间「压扁」到更低维度，面积/体积被压缩为 0。反之 det(A)≠0 时矩阵可逆、方程组有唯一解。因此行列式是否为零，是判断可逆性、唯一解、向量组是否线性无关的关键指标。

行列式有哪些常用性质？

常用性质包括：①转置不改变行列式，det(Aᵀ)=det(A)；②交换两行（或两列）行列式变号；③某一行（列）乘以常数 k，行列式变为原来的 k 倍，故 det(kA)=kⁿ·det(A)（n 为阶数）；④某一行是另一行的倍数、或有一整行为 0 时行列式为 0；⑤把某行的倍数加到另一行上，行列式不变（这正是消元法保值的依据）；⑥行列式对乘积可拆分，det(AB)=det(A)·det(B)；⑦三角矩阵（含对角矩阵）的行列式等于主对角线元素之积；⑧可逆时 det(A⁻¹)=1/det(A)。这些性质既能简化手算，也是消元法计算的理论基础。

行列式和克拉默法则、逆矩阵是什么关系？

三者紧密相关。克拉默（Cramer）法则：当系数行列式 D=det(A)≠0 时，n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解 xᵢ=Dᵢ/D，其中 Dᵢ 是把 A 的第 i 列换成常数列 b 后的行列式。逆矩阵：A⁻¹=adj(A)/det(A)，伴随矩阵 adj(A) 由各元素的代数余子式转置而成，同样要求 det(A)≠0。可见行列式是求解方程组、求逆矩阵的前提与「分母」，一旦为 0 这两条路都走不通。想直接解方程组或求逆矩阵，可用页面下方的「二元一次方程组计算器」「矩阵计算器」，它们内部同样以行列式为基础。

这个行列式计算器的结果精确吗？支持小数和负数吗？

支持整数、小数和负数元素。工具用 Bareiss 分数-free 消元法计算：对整数矩阵，每一步除法都保证整除、全程保持整数，因此结果是精确整数，不会出现 −1.9999… 这类浮点误差。全程采用高精度十进制运算（decimal.js，约 40 位有效数字）而非普通二进制浮点。当元素为小数、结果小数位超过所选位数时，会按你选的小数位四舍五入并在前面标 ≈。所有计算都在你的浏览器本地完成，不上传数据。

非方阵能求行列式吗？这个工具最多支持几阶？

行列式只对方阵（行数=列数）定义，长方形矩阵（如 2×3、3×4）没有行列式，若行数≠列数需先化成方阵，或改用秩、伪逆等概念。本计算器支持 1×1 到 8×8 的方阵：1×1 的行列式就是该元素本身，阶数超过 8 或行数不等于列数时无法计算并会提示。日常线性代数练习、方程组系数矩阵一般都在 8 阶以内，通常够用；若目的是解方程组或求逆矩阵，可配合页面下方的「矩阵计算器」「二元一次方程组计算器」，它们内部同样以行列式为基础。

行列式计算器

在线求方阵的行列式，支持 1×1 到 8×8、整数与小数、负数；给出是否可逆判定与按第一行展开的每一项，高精度不丢误差。

矩阵阶数 n（1–8，即 n×n 方阵）

矩阵 A（3×3）

小数位数（除不尽时的近似值）

3 阶行列式 det(A)

-306

矩阵阶数: 3 × 3
是否可逆: det ≠ 0，满秩，可逆

按第一行展开（拉普拉斯余子式）

det(A) = 6 × -54 − 1 × 18 + 1 × 36 = -306

每一项为「第一行元素 a₁ⱼ ×（−1)^(1+j) × 去掉该元素所在行列后的2 阶子式」，各项相加即为行列式。

结果为精确值。行列式用 Bareiss 分数-free 消元法计算，整数矩阵不产生浮点误差。

怎么用

选择矩阵阶数：在「矩阵阶数 n」下拉框里选择方阵的大小，支持 1×1 到 8×8。行列式只对方阵（行数=列数）有定义，所以这里只需选一个数 n，工具会自动生成 n×n 的输入网格。
逐格填入矩阵元素：在网格里逐个填写每个位置的数，支持整数、小数和正负号（默认填 0）。二阶只需填 4 个数，三阶填 9 个数，依此类推。
设定近似小数位（可选）：整数矩阵的行列式一定是精确整数，无需设置。只有当元素为小数、结果小数位超过所选位数时才会用到「小数位数」；可在 2/4/6/10 位之间切换，近似值前会带 ≈。
读取行列式与展开过程：工具即时给出行列式的值，并标出矩阵是否可逆（det≠0 可逆、det=0 奇异不可逆）；下方「按第一行展开」列出每一项 a₁ⱼ×子式，方便对照课本验算。

核心要点

行列式 det(A) 是由 n 阶方阵算出的一个标量，只对方阵定义。它最关键的作用是判断可逆性：

二阶：|a b; c d| = ad − bc（对角线法则）。
三阶：Sarrus 法则 aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh。
n 阶：按行/列展开 det(A)=Σⱼ a₁ⱼ·(−1)^(1+j)·M₁ⱼ 或消元化三角。
判可逆：det(A)≠0 ⇔ 可逆（满秩、唯一解）；det(A)=0 ⇔ 奇异、不可逆。

本工具用 Bareiss 分数-free 消元法计算，整数矩阵结果为精确整数（约 40 位有效数字，无浮点误差），并列出按第一行展开的每一项供对照验算，全部在浏览器本地完成。

原理与公式

行列式（determinant）是由一个 n 阶方阵 A（n 行 n 列）按固定规则算出的一个数，记作 det(A) 或 |A|。它衡量方阵所代表的线性变换对面积/体积的缩放倍数，绝对值越大放缩越强，符号表示定向是否翻转；为 0 则表示变换把空间压扁、矩阵不可逆。

二阶行列式

|a b; c d| = ad − bc，即主对角线乘积减副对角线乘积。例如 |1 2; 3 4| = 1·4 − 2·3 = −2。几何意义是以 (a,c)、(b,d) 两向量为邻边的平行四边形的有向面积。

三阶行列式（Sarrus 法则）

对 [a b c; d e f; g h i]，det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh：三条主对角线（左上→右下）乘积之和，减去三条副对角线（右上→左下）乘积之和。注意 Sarrus 只适用于三阶，四阶及以上必须用展开或消元。

n 阶：拉普拉斯（余子式）展开

沿第一行展开：det(A) = Σⱼ a₁ⱼ · (−1)^(1+j) · M₁ⱼ，其中 M₁ⱼ 是划去第 1 行、第 j 列后剩下的 (n−1) 阶子式行列式，(−1)^(1+j)·M₁ⱼ 称为代数余子式 C₁ⱼ。这样把 n 阶逐层降为低阶。本工具结果区会把这几项逐一列出。

Bareiss 分数-free 消元（本工具算法）

展开法项数随阶数阶乘增长，效率低。本工具改用Bareiss 分数-free 消元：把矩阵消成上三角，行列式等于对角线之积，且每一步除法对整数矩阵都保证整除、全程保持整数，因此结果为精确整数，不出现浮点误差。计算复杂度约 O(n³)，8 阶以内瞬时完成。

常用性质

det(Aᵀ)=det(A)；交换两行变号；某行乘 k 则行列式乘 k，故 det(kA)=kⁿ·det(A)；有一行为 0 或两行成比例则 det=0；把某行倍数加到另一行不改变行列式；det(AB)=det(A)·det(B)；三角矩阵行列式为对角线之积；可逆时 det(A⁻¹)=1/det(A)。

算例

设 A = [6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7]，按 Sarrus：6·(−2)·7 + 1·5·2 + 1·4·8 − 1·(−2)·2 − 1·4·7 − 6·5·8 = −84 + 10 + 32 + 4 − 28 − 240 = −306。因 −306 ≠ 0，故 A 可逆。

精度：全程高精度十进制运算（decimal.js，约 40 位有效数字），整数矩阵行列式为精确整数，小数元素除不尽时保留到所选小数位并标 ≈。

常见问题

行列式是什么？和矩阵有什么区别？: 行列式（determinant）是由一个方阵（行数=列数）算出来的一个标量（单独一个数），记作 det(A) 或 |A|。矩阵是一张数表，而行列式是这张数表按特定规则算出的一个数。行列式只对方阵定义，长方形矩阵没有行列式。几何上，二阶行列式等于以两行（或两列）为邻边的平行四边形的有向面积，三阶行列式等于以三行为棱的平行六面体的有向体积，绝对值表示线性变换对面积/体积的缩放倍数，正负号表示是否改变定向。它最重要的用途是判断方阵是否可逆：det(A)≠0 时可逆（满秩），det(A)=0 时为奇异矩阵、不可逆。
二阶、三阶行列式怎么手算？: 二阶行列式用对角线法则：|a b; c d| = ad − bc，即主对角线乘积减去副对角线乘积。例如 |1 2; 3 4| = 1×4 − 2×3 = −2。三阶行列式可用萨吕斯（Sarrus）对角线法则：把矩阵前两列抄到右边，三条「从左上到右下」的对角线乘积之和，减去三条「从右上到左下」对角线乘积之和；公式为 aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh（其中矩阵为 [a b c; d e f; g h i]）。注意 Sarrus 只适用于三阶，四阶及以上不能用对角线法则，要用按行/列展开（余子式）或消元法。本工具下方会列出按第一行展开的每一项，方便对照。
四阶及更高阶行列式怎么算？: 高阶行列式常用两种方法：①按行（列）展开的拉普拉斯（Laplace）余子式法——沿某一行展开，det(A)=Σⱼ a₁ⱼ·(−1)^(1+j)·M₁ⱼ，其中 M₁ⱼ 是划去第 1 行第 j 列后剩下的 (n−1) 阶子式行列式；这是把高阶逐层降为低阶。②消元法——用初等行变换把矩阵化成上三角，行列式等于对角线元素之积（每做一次换行乘 −1，某行乘常数 k 则行列式乘 k）。手算高阶时消元法通常更快。本工具采用 Bareiss 分数-free 消元法计算最终值，同时按第一行展开列出各项供你理解与验算。
行列式为 0 代表什么？: det(A)=0 说明该方阵是奇异矩阵：它的各行（或各列）线性相关（存在某一行/列是其它行/列的线性组合），矩阵不满秩，不存在逆矩阵。对线性方程组 Ax=b 而言，系数行列式为 0 意味着方程组要么无解、要么有无穷多解（不是唯一解）；几何上表示线性变换把空间「压扁」到更低维度，面积/体积被压缩为 0。反之 det(A)≠0 时矩阵可逆、方程组有唯一解。因此行列式是否为零，是判断可逆性、唯一解、向量组是否线性无关的关键指标。
行列式有哪些常用性质？: 常用性质包括：①转置不改变行列式，det(Aᵀ)=det(A)；②交换两行（或两列）行列式变号；③某一行（列）乘以常数 k，行列式变为原来的 k 倍，故 det(kA)=kⁿ·det(A)（n 为阶数）；④某一行是另一行的倍数、或有一整行为 0 时行列式为 0；⑤把某行的倍数加到另一行上，行列式不变（这正是消元法保值的依据）；⑥行列式对乘积可拆分，det(AB)=det(A)·det(B)；⑦三角矩阵（含对角矩阵）的行列式等于主对角线元素之积；⑧可逆时 det(A⁻¹)=1/det(A)。这些性质既能简化手算，也是消元法计算的理论基础。
行列式和克拉默法则、逆矩阵是什么关系？: 三者紧密相关。克拉默（Cramer）法则：当系数行列式 D=det(A)≠0 时，n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解 xᵢ=Dᵢ/D，其中 Dᵢ 是把 A 的第 i 列换成常数列 b 后的行列式。逆矩阵：A⁻¹=adj(A)/det(A)，伴随矩阵 adj(A) 由各元素的代数余子式转置而成，同样要求 det(A)≠0。可见行列式是求解方程组、求逆矩阵的前提与「分母」，一旦为 0 这两条路都走不通。想直接解方程组或求逆矩阵，可用页面下方的「二元一次方程组计算器」「矩阵计算器」，它们内部同样以行列式为基础。
这个行列式计算器的结果精确吗？支持小数和负数吗？: 支持整数、小数和负数元素。工具用 Bareiss 分数-free 消元法计算：对整数矩阵，每一步除法都保证整除、全程保持整数，因此结果是精确整数，不会出现 −1.9999… 这类浮点误差。全程采用高精度十进制运算（decimal.js，约 40 位有效数字）而非普通二进制浮点。当元素为小数、结果小数位超过所选位数时，会按你选的小数位四舍五入并在前面标 ≈。所有计算都在你的浏览器本地完成，不上传数据。
非方阵能求行列式吗？这个工具最多支持几阶？: 行列式只对方阵（行数=列数）定义，长方形矩阵（如 2×3、3×4）没有行列式，若行数≠列数需先化成方阵，或改用秩、伪逆等概念。本计算器支持 1×1 到 8×8 的方阵：1×1 的行列式就是该元素本身，阶数超过 8 或行数不等于列数时无法计算并会提示。日常线性代数练习、方程组系数矩阵一般都在 8 阶以内，通常够用；若目的是解方程组或求逆矩阵，可配合页面下方的「矩阵计算器」「二元一次方程组计算器」，它们内部同样以行列式为基础。

怎么用