正多边形面积公式是什么？怎么算？

边长为 s 的正 n 边形，面积 A = ¼ × n × s² × cot(180°/n)，也就是 A = (n × s²) ÷ (4 × tan(180°/n))。例如正六边形边长 2：A = (6 × 4) ÷ (4 × tan30°) = 24 ÷ (4 × 0.57735) ≈ 10.392305，恰好等于 6√3。另一种等价写法是「面积 = ½ × 周长 × 边心距」，其中周长 = n × s，边心距（apothem）是中心到任意一条边中点的距离。

什么是边心距（apothem）？和外接圆半径 R 有什么区别？

对正多边形，中心到「边的中点」的垂直距离叫边心距 a（也是内切圆半径）；中心到「顶点」的距离叫外接圆半径 R。二者与边长 s、边数 n 的关系为：a = s ÷ (2 × tan(180°/n))，R = s ÷ (2 × sin(180°/n))，且 a = R × cos(180°/n)，恒有 a < R。本工具支持用边长、外接圆半径或边心距任一个反推其余量，并给出面积。例如正六边形边长 2 时，边心距 a = √3 ≈ 1.732，外接圆半径 R = 2。

不知道边长，只有顶点坐标，怎么求多边形面积？

用鞋带公式（Shoelace / 高斯面积公式）。把各顶点按顺序（顺时针或逆时针都行）记为 (x₁,y₁)…(xₙ,yₙ)，面积 A = ½ × |Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|，其中下标循环（第 n 个之后回到第 1 个）。例如顶点 (0,0)、(4,0)、(4,4)、(0,4)，代入得 A = ½ × |0 + 16 + 16 + 0 − (0 + 0 + 0 + 0)|... 实际是 16，即 4×4 的正方形。选「坐标（鞋带公式）」方式，逐个填入顶点即可，工具会自动连成闭合多边形。

鞋带公式对凹多边形（不规则形状）也适用吗？

适用。鞋带公式对任意「简单多边形」（边不自相交）都成立，无论凸还是凹。只需按沿边界的先后顺序输入顶点即可，顺时针或逆时针不影响面积（工具取绝对值）。它不适用于「自相交」多边形（边彼此穿过，如五角星的星形轮廓按错顺序连线），这类图形的内部区域不再明确，公式给出的是带符号的部分面积，需要先把顶点拆成不自交的顺序。若你输入的点共线或有重合导致面积为 0，工具会提示检查坐标与顺序。

正多边形的内角、外角怎么算？

正 n 边形每个内角 = (n − 2) × 180° ÷ n，每个外角 = 360° ÷ n，内角 + 外角 = 180°。例如正六边形内角 = 4 × 180° ÷ 6 = 120°，外角 = 60°；正五边形内角 108°、外角 72°；正八边形内角 135°、外角 45°。所有多边形的外角之和恒为 360°。本工具在正多边形三种方式下都会一并给出每个内角和外角。

为什么提示「面积为 0」或算不出来？

坐标法出现「面积为 0」通常是三种情况：所有顶点在同一条直线上（共线）、有重合的顶点、或只填了不足 3 个有效顶点。请检查是否漏填、是否按图形边界的顺序输入、有没有把某个点填成和相邻点相同。正多边形方式则要求边数 n 为不小于 3 的整数、长度为正数，否则会提示相应错误。把顶点按沿边走一圈的顺序重新排列，通常即可得到正确面积。

面积和边长的单位怎么对应？结果为什么有时是近似值？

长度用什么单位，面积就是对应的平方单位：边长用厘米（cm），面积就是平方厘米（cm²）；用米（m）则是平方米（m²）。本工具只做纯数值计算、不带单位，输入时保持同一套单位即可。正多边形公式含 tan、sin 等三角函数，精确值往往是无理数（无限不循环小数），只能四舍五入到有限位，因此显示的是按所选小数位的近似值；本工具内部用 decimal.js 以约 40 位有效数字运算，避免浮点误差，再按小数位输出，所有计算在浏览器本地完成。

多边形面积计算器

输入边数和边长、外接圆半径或边心距，或按顺序填顶点坐标，即可计算多边形面积；正多边形附周长、半径与内外角，坐标法适合简单不自交的不规则多边形。

用什么已知量算？

已知正多边形边数与边长：A = ¼ · n · s² · cot(π/n)

边数 n（正多边形的边数，整数 ≥ 3）

边长 s

正多边形所有边等长、所有内角相等；只要边数加任意一个长度即可确定整个图形。

小数位数

多边形面积

面积 A = 10.392305

边数 / 顶点数6周长12边长 s2边心距 a（中心→边中点）1.732051外接圆半径 R（中心→顶点）2内角（每个）120°外角（每个）60°

计算方式：正多边形·已知边长。结果按所选小数位四舍五入；面积与长度使用同一套单位（长度用 cm 则面积为 cm²）。

怎么用

选择计算方式：在「用什么已知量算？」处选择：正多边形用边长、外接圆半径或边心距三选一；不规则（任意）多边形选「坐标（鞋带公式）」，直接输入各顶点坐标。
填入已知量：正多边形先填边数 n（整数 ≥ 3），再填对应的长度；坐标法按顺序逐个填入顶点的 x、y，可点「添加顶点」增行，坐标可为负数或小数，所有长度用同一套单位。
选择小数位数：正多边形涉及 tan、sin 等三角函数，结果常为无限小数，可按需要保留 2/4/6/10 位小数，工具会四舍五入到该位。
读结果：工具立即给出面积；正多边形还会给出周长、边长、边心距、外接圆半径与内角/外角；坐标法给出面积与周长。面积单位是长度单位的平方，例如 cm 对应 cm²。

核心要点

多边形面积计算器覆盖两大类图形、四种已知条件，任选其一即可求面积：

正多边形·边长：A = ¼ · n · s² · cot(180°/n)，常用于已知边长的题目；n 是边数、s 是边长。
正多边形·外接圆半径 / 边心距：已知 R（中心→顶点）或 a（中心→边中点）也能求，工具会互相换算并给面积。
坐标（鞋带公式）：任意（含不规则、凹）多边形，按顺序输入顶点(x, y)，A = ½ · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|。
附带量：正多边形同时给出周长、边长、边心距、外接圆半径、内角与外角；坐标法给出面积与周长。
单位对应：长度用同一单位，面积是其平方单位（cm 对应 cm²）。
顶点顺序提醒：坐标法要沿边界走一圈；例如 (0,0) → (4,0) → (0,4) → (4,4) 会交叉，改成 (0,0) → (4,0) → (4,4) → (0,4) 才是边长 4 的正方形，面积为 16。

原理与公式

多边形按是否「正」分两类算法。正多边形所有边等长、所有角相等，只要边数n 加一个长度就能确定整个图形；任意多边形则由顶点坐标决定。

① 正多边形·边长

边长 s 的正 n 边形，令 θ = 180°/n：A = ¼ · n · s² · cot θ =（n · s²）÷（4 · tan θ）。例如正六边形 n = 6、s = 2：A = 24 ÷（4 · tan30°）≈ 10.392305（即 6√3）。

② 外接圆半径 R 与边心距 a

边心距 a = s ÷（2 · tan θ），外接圆半径 R = s ÷（2 · sin θ），且 a = R · cos θ。面积也可写成 A = ½ · 周长 · a = ½ · (n·s) · a。已知 R 时 s = 2R · sin θ；已知 a 时 s = 2a · tan θ，换算回边长后套公式①即可。

③ 坐标法：鞋带公式

任意简单多边形，顶点按顺序 (x₁,y₁)…(xₙ,yₙ)：A = ½ · |Σ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|（下标循环）。例如正方形 (0,0)、(4,0)、(4,4)、(0,4)：A = 16。凸、凹皆可，顺/逆时针不影响结果（取绝对值）；周长为各边长之和。

④ 内角与外角

正 n 边形每个内角 =（n − 2）· 180° ÷ n，每个外角 = 360° ÷ n；外角之和恒为 360°。

关于精度

正多边形含 tan、sin，坐标法含开方求边长，精确值多为无理数，只能四舍五入。本工具用 decimal.js 以约 40 位有效数字运算、π = arccos(−1) 求得，避免浮点误差，再按所选小数位输出；所有计算在浏览器本地完成。

常见问题

正多边形面积公式是什么？怎么算？: 边长为 s 的正 n 边形，面积 A = ¼ × n × s² × cot(180°/n)，也就是 A = (n × s²) ÷ (4 × tan(180°/n))。例如正六边形边长 2：A = (6 × 4) ÷ (4 × tan30°) = 24 ÷ (4 × 0.57735) ≈ 10.392305，恰好等于 6√3。另一种等价写法是「面积 = ½ × 周长 × 边心距」，其中周长 = n × s，边心距（apothem）是中心到任意一条边中点的距离。
什么是边心距（apothem）？和外接圆半径 R 有什么区别？: 对正多边形，中心到「边的中点」的垂直距离叫边心距 a（也是内切圆半径）；中心到「顶点」的距离叫外接圆半径 R。二者与边长 s、边数 n 的关系为：a = s ÷ (2 × tan(180°/n))，R = s ÷ (2 × sin(180°/n))，且 a = R × cos(180°/n)，恒有 a < R。本工具支持用边长、外接圆半径或边心距任一个反推其余量，并给出面积。例如正六边形边长 2 时，边心距 a = √3 ≈ 1.732，外接圆半径 R = 2。
不知道边长，只有顶点坐标，怎么求多边形面积？: 用鞋带公式（Shoelace / 高斯面积公式）。把各顶点按顺序（顺时针或逆时针都行）记为 (x₁,y₁)…(xₙ,yₙ)，面积 A = ½ × |Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|，其中下标循环（第 n 个之后回到第 1 个）。例如顶点 (0,0)、(4,0)、(4,4)、(0,4)，代入得 A = ½ × |0 + 16 + 16 + 0 − (0 + 0 + 0 + 0)|... 实际是 16，即 4×4 的正方形。选「坐标（鞋带公式）」方式，逐个填入顶点即可，工具会自动连成闭合多边形。
鞋带公式对凹多边形（不规则形状）也适用吗？: 适用。鞋带公式对任意「简单多边形」（边不自相交）都成立，无论凸还是凹。只需按沿边界的先后顺序输入顶点即可，顺时针或逆时针不影响面积（工具取绝对值）。它不适用于「自相交」多边形（边彼此穿过，如五角星的星形轮廓按错顺序连线），这类图形的内部区域不再明确，公式给出的是带符号的部分面积，需要先把顶点拆成不自交的顺序。若你输入的点共线或有重合导致面积为 0，工具会提示检查坐标与顺序。
正多边形的内角、外角怎么算？: 正 n 边形每个内角 = (n − 2) × 180° ÷ n，每个外角 = 360° ÷ n，内角 + 外角 = 180°。例如正六边形内角 = 4 × 180° ÷ 6 = 120°，外角 = 60°；正五边形内角 108°、外角 72°；正八边形内角 135°、外角 45°。所有多边形的外角之和恒为 360°。本工具在正多边形三种方式下都会一并给出每个内角和外角。
为什么提示「面积为 0」或算不出来？: 坐标法出现「面积为 0」通常是三种情况：所有顶点在同一条直线上（共线）、有重合的顶点、或只填了不足 3 个有效顶点。请检查是否漏填、是否按图形边界的顺序输入、有没有把某个点填成和相邻点相同。正多边形方式则要求边数 n 为不小于 3 的整数、长度为正数，否则会提示相应错误。把顶点按沿边走一圈的顺序重新排列，通常即可得到正确面积。
面积和边长的单位怎么对应？结果为什么有时是近似值？: 长度用什么单位，面积就是对应的平方单位：边长用厘米（cm），面积就是平方厘米（cm²）；用米（m）则是平方米（m²）。本工具只做纯数值计算、不带单位，输入时保持同一套单位即可。正多边形公式含 tan、sin 等三角函数，精确值往往是无理数（无限不循环小数），只能四舍五入到有限位，因此显示的是按所选小数位的近似值；本工具内部用 decimal.js 以约 40 位有效数字运算，避免浮点误差，再按小数位输出，所有计算在浏览器本地完成。

怎么用