条件概率公式 P(A|B) 怎么算？

条件概率中 P(B)=0 或 P(A∩B) 越界怎么办？

P(B)=0 时 P(A|B) 的分母为 0，在高中和大学教材的定义下没有意义，本页显示「无定义」；乘法公式模式下 P(B)=0 会直接报错。P(A∩B) 不能大于 P(A)、P(B) 中较小的一个，也不能小于 P(A)+P(B)−1，例如 P(A)=0.5、P(B)=0.3 时 P(A∩B) 只能在 0 到 0.3 之间，超出说明题目数据或抄写有误。

概率的乘法公式什么时候用？

已知一个事件的概率和另一个事件在它发生条件下的概率，要求两者同时发生的概率时用乘法公式：P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)。典型题是「不放回抽取」：第一次抽到次品的概率乘以第一次抽到次品后第二次再抽到次品的概率。例如 P(B)=0.4、P(A|B)=0.45，则 P(A∩B)=0.18；再给 P(A)=0.3，就能反求 P(B|A)=0.6。

条件概率里事件相互独立和互斥有什么区别？

相互独立是指一个事件发生不改变另一个事件的概率，判据是 P(A∩B) = P(A)·P(B)，在 P(B) > 0 时等价于 P(A|B) = P(A)（P(B)=0 时条件概率无定义，只能用乘积式判断）；互斥是指两个事件不能同时发生，即 P(A∩B) = 0。两者不是一回事：当 P(A)、P(B) 都大于 0 时，互斥事件的 P(A∩B)=0 小于 P(A)·P(B)，所以一定不独立，本页会判为负相关。

怎么用条件概率判断两个事件是否独立？

比较 P(A∩B) 与 P(A)·P(B)：相等则相互独立；P(A∩B) 更大说明 B 发生后 A 更可能发生（P(A|B) > P(A)，正相关），更小则相反。例如 P(A)=0.6、P(B)=0.25、P(A∩B)=0.15，正好等于 0.6×0.25，所以 A、B 相互独立。本页按所填数值严格比较，题目数据若是四舍五入后的近似值，结论只对所填数值成立。

条件概率和联合概率 P(A∩B) 有什么区别？

联合概率 P(A∩B) 是在全部可能结果里 A、B 同时发生的比例；条件概率 P(A|B) 是在已知 B 发生、样本空间缩小到 B 之后，A 发生的比例，二者相差一个除以 P(B) 的步骤。例如 P(A∩B)=0.2、P(B)=0.3，联合概率是 0.2，条件概率是 0.2 ÷ 0.3 ≈ 0.6667。因为 P(B) 不超过 1，P(B) > 0 时 P(A|B) 总是不小于 P(A∩B)，题目问「已知……的情况下」时求的是条件概率，问「同时发生」「都发生」时求的是联合概率。

条件概率不放回抽取例题怎么算？

以「10 件产品中有 3 件次品，不放回地抽 2 次」为例：记 B 为第一次抽到次品，A 为第二次抽到次品。P(B) = 3/10；第一次抽走 1 件次品后还剩 9 件、其中 2 件次品，所以 P(A|B) = 2/9 ≈ 0.222222。两次都抽到次品的联合概率用乘法公式：P(A∩B) = 3/10 × 2/9 = 1/15 ≈ 0.066667。在本页选「已知 P(A|B)」，P(B) 填 0.3、P(A|B) 填 0.222222，P(A) 按全概率同样是 0.3，即可得到约 0.066667 的联合概率；由于是小数近似输入，末位可能有微小舍入差。

条件概率计算器

条件概率计算器：填 P(A)、P(B) 和 P(A∩B) 或 P(A|B)，求条件概率 P(A|B)、P(B|A)，用乘法公式求联合概率，并判断 A、B 是否相互独立。

事件 A 的概率 P(A)

写成 0–1 之间的小数，如 0.5。

事件 B 的概率 P(B)

作为条件的事件 B 发生的概率。

A、B 同时发生的概率 P(A∩B)

也写作 P(AB)。1/3 请换算成小数，如 0.333333。

默认值为示例数值，可直接改成题目中的概率。

条件概率 P(A|B)：B 发生的条件下 A 发生的概率

0.666667

即 66.6667%。

独立性：不独立（正相关：P(A|B) > P(A)）

P(A∩B)0.2（20%）P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A)0.4（40%）P(A)·P(B)0.15（15%）差值 D = P(A∩B) − P(A)·P(B)0.05（5%）

独立性结论按所填数值严格判断：题目数值经过四舍五入时，结论只对所填数值成立。本工具只处理 A、B 两个事件，不做统计意义上的独立性检验。

怎么用

选择已知条件：题目给出 A、B 同时发生的概率 P(A∩B) 时选「已知 P(A∩B)」；题目给出条件概率 P(A|B) 时选「已知 P(A|B)」，本页会用乘法公式先求出 P(A∩B)。
填 P(A) 和 P(B)：两种模式都要填事件 A、B 各自的概率，写成 0–1 之间的小数，如 0.5。不接受分数和百分号：1/3 请换算成小数，如 0.333333；30% 写成 0.3。
填第三个概率：定义模式填 P(A∩B)，乘法公式模式填 P(A|B)。P(A∩B) 必须落在 max(0, P(A)+P(B)−1) 与 min(P(A), P(B)) 之间，越界时本页会提示可取的区间。
看条件概率和独立性结论：大字是 P(A|B)，下面依次是 P(A∩B)、P(B|A)、P(A)·P(B) 和差值 D，每项同时给出小数和百分数。D 等于 0 判为相互独立，大于 0 为正相关，小于 0 为负相关。

条件概率怎么算：核心要点

条件概率 P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)；如 P(A∩B)=0.2、P(B)=0.3 时，P(A|B) ≈ 0.6667。已知 P(A|B) 时可用乘法公式反求联合概率，再比较 P(A∩B) 与 P(A)·P(B) 判断是否独立。

乘法公式：P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)。
独立判据：P(A∩B) = P(A)·P(B)，P(B) > 0 时等价于 P(A|B) = P(A)。
取值范围：max(0, P(A)+P(B)−1) ≤ P(A∩B) ≤ min(P(A), P(B))。
本工具只处理 A、B 两个事件。已知 P(B|A)、P(B|¬A) 反推 P(A|B) 请用贝叶斯定理计算器；求并事件、对立事件请用概率计算器。

原理与公式

设 A、B 是同一试验中的两个事件，P(A∩B)（也写作 P(AB)）表示 A、B 同时发生的概率。在 B 已经发生的前提下，样本空间缩小为 B，A 发生的概率就是 A∩B 在 B 中所占的比例，这就是条件概率。

公式

条件概率：P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)（P(B) > 0），P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A)（P(A) > 0）
乘法公式：P(A∩B) = P(B)·P(A|B)
独立性：差值 D = P(A∩B) − P(A)·P(B)，D = 0 相互独立，D > 0 正相关，D < 0 负相关

算例 G1：定义求条件概率（0.5 / 0.3 / 0.2）

P(A|B) = 0.2 ÷ 0.3 = 2/3 ≈ 0.666667（66.6667%），P(B|A) = 0.2 ÷ 0.5 = 0.4
P(A)·P(B) = 0.15，D = 0.2 − 0.15 = 0.05 > 0，不独立（正相关）。

算例 G2：相互独立（0.6 / 0.25 / 0.15）

P(A)·P(B) = 0.6 × 0.25 = 0.15 = P(A∩B)，D = 0，相互独立；此时P(A|B) = 0.15 ÷ 0.25 = 0.6 = P(A)。

算例 G3：乘法公式（P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A|B)=0.45）

P(A∩B) = 0.4 × 0.45 = 0.18，P(B|A) = 0.18 ÷ 0.3 = 0.6
P(A)·P(B) = 0.12，D = 0.06 > 0，不独立（正相关）。

精度与舍入

全程使用高精度十进制运算，中间不舍入。每项结果只在最后一步按四舍五入保留：小数 6 位，百分数 4 位，末尾的 0 不显示。独立性结论用未舍入的精确差值判断；差值不为 0 但舍入后显示为 0 时，结论后会注明「差值极小，四舍五入后显示为 0」。

常见问题

条件概率公式 P(A|B) 怎么算？: 用 A、B 同时发生的概率除以 B 的概率：P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)，前提是 P(B) > 0。例如 P(A)=0.5、P(B)=0.3、P(A∩B)=0.2，则 P(A|B) = 0.2 ÷ 0.3 ≈ 0.666667，即约 66.6667%；反过来 P(B|A) = 0.2 ÷ 0.5 = 0.4。P(A|B) 和 P(B|A) 的分母不同，一般不相等。
条件概率中 P(B)=0 或 P(A∩B) 越界怎么办？: P(B)=0 时 P(A|B) 的分母为 0，在高中和大学教材的定义下没有意义，本页显示「无定义」；乘法公式模式下 P(B)=0 会直接报错。P(A∩B) 不能大于 P(A)、P(B) 中较小的一个，也不能小于 P(A)+P(B)−1，例如 P(A)=0.5、P(B)=0.3 时 P(A∩B) 只能在 0 到 0.3 之间，超出说明题目数据或抄写有误。
概率的乘法公式什么时候用？: 已知一个事件的概率和另一个事件在它发生条件下的概率，要求两者同时发生的概率时用乘法公式：P(A∩B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)。典型题是「不放回抽取」：第一次抽到次品的概率乘以第一次抽到次品后第二次再抽到次品的概率。例如 P(B)=0.4、P(A|B)=0.45，则 P(A∩B)=0.18；再给 P(A)=0.3，就能反求 P(B|A)=0.6。
条件概率里事件相互独立和互斥有什么区别？: 相互独立是指一个事件发生不改变另一个事件的概率，判据是 P(A∩B) = P(A)·P(B)，在 P(B) > 0 时等价于 P(A|B) = P(A)（P(B)=0 时条件概率无定义，只能用乘积式判断）；互斥是指两个事件不能同时发生，即 P(A∩B) = 0。两者不是一回事：当 P(A)、P(B) 都大于 0 时，互斥事件的 P(A∩B)=0 小于 P(A)·P(B)，所以一定不独立，本页会判为负相关。
怎么用条件概率判断两个事件是否独立？: 比较 P(A∩B) 与 P(A)·P(B)：相等则相互独立；P(A∩B) 更大说明 B 发生后 A 更可能发生（P(A|B) > P(A)，正相关），更小则相反。例如 P(A)=0.6、P(B)=0.25、P(A∩B)=0.15，正好等于 0.6×0.25，所以 A、B 相互独立。本页按所填数值严格比较，题目数据若是四舍五入后的近似值，结论只对所填数值成立。
条件概率和联合概率 P(A∩B) 有什么区别？: 联合概率 P(A∩B) 是在全部可能结果里 A、B 同时发生的比例；条件概率 P(A|B) 是在已知 B 发生、样本空间缩小到 B 之后，A 发生的比例，二者相差一个除以 P(B) 的步骤。例如 P(A∩B)=0.2、P(B)=0.3，联合概率是 0.2，条件概率是 0.2 ÷ 0.3 ≈ 0.6667。因为 P(B) 不超过 1，P(B) > 0 时 P(A|B) 总是不小于 P(A∩B)，题目问「已知……的情况下」时求的是条件概率，问「同时发生」「都发生」时求的是联合概率。
条件概率不放回抽取例题怎么算？: 以「10 件产品中有 3 件次品，不放回地抽 2 次」为例：记 B 为第一次抽到次品，A 为第二次抽到次品。P(B) = 3/10；第一次抽走 1 件次品后还剩 9 件、其中 2 件次品，所以 P(A|B) = 2/9 ≈ 0.222222。两次都抽到次品的联合概率用乘法公式：P(A∩B) = 3/10 × 2/9 = 1/15 ≈ 0.066667。在本页选「已知 P(A|B)」，P(B) 填 0.3、P(A|B) 填 0.222222，P(A) 按全概率同样是 0.3，即可得到约 0.066667 的联合概率；由于是小数近似输入，末位可能有微小舍入差。

怎么用