贝叶斯定理计算器
贝叶斯定理计算器用于根据新证据更新概率：输入先验概率、真阳性率和假阳性率，查看后验概率、全概率与每万人期望人数。
观察到结果之前，A 成立的概率，例如人群患病率、垃圾邮件占比。
A 成立时，观察到 B（如检测阳性）的概率。
A 不成立时仍观察到 B 的概率。假阳性率 = 100% − 特异度，特异度 95% 就填 5。
默认值为示例数值，非任何疾病或检测的真实参数。
先验 1%、真阳性率 99%、假阳性率 5% 时， 阳性结果里有 16.6667% 是 A 真的成立，83.3333% 是假阳性。后验高于先验，这个结果让 A 更可信。
每万人人数是按概率推算的期望人数，不是实际人数，可以带小数。结果只是概率推算，不能代替医生诊断。本工具只处理 A 与 ¬A 两种情况，多于两种情况请分组或等待多假设版本。
怎么用
- 填先验概率 P(A)：先验概率是还没看到结果之前 A 成立的概率，也叫基础比率。做筛查题时就是人群患病率，做垃圾邮件判定时就是垃圾邮件在所有邮件中的占比。单位是 %，填 0–100，可以带小数，比如 0.1。
- 填真阳性率 P(B|A)：真阳性率是 A 成立时观察到 B 的概率，医学检测里叫灵敏度。比如「患病者中 99% 检测阳性」，这里就填 99。
- 填假阳性率 P(B|¬A)：假阳性率是 A 不成立时仍然观察到 B 的概率。题目给的是特异度时，用 100% 减去特异度：特异度 95%，假阳性率就填 5。三个字段都必填，留空不会按 0 处理。
- 看后验概率和每万人人数：大字是后验概率 P(A|B)；下面依次是全概率 P(B)、两个联合概率、阳性中假阳性的占比，以及每 10 000 人中真阳性、假阳性和阳性总数的期望人数。把每万人人数和后验概率对照着看，更容易理解为什么阳性不等于确定。
贝叶斯定理怎么用：核心要点
贝叶斯定理用观察到的证据更新先验概率。教学算例：假设患病率 1%、灵敏度 99%、假阳性率 5%， 阳性者真正患病的概率约 16.67%；每万人预计有 99 名真阳性、495 名假阳性。示例不代表实际疾病或检测性能。
- 全概率：
P(B) = P(A)·P(B|A) + (1−P(A))·P(B|¬A)。 - 贝叶斯公式：
P(A|B) = P(A)·P(B|A) ÷ P(B)；假阳性占比P(¬A|B) = 1 − P(A|B)。 - 假阳性率 = 100% − 特异度，题目给特异度时，需要换算后再填写。
- 先验在 0 与 100% 之间、全概率和假阳性率均大于 0 时，似然比
P(B|A) ÷ P(B|¬A)大于 1，后验高于先验；小于 1，后验低于先验。 - 只有 A、¬A 两种情况；独立事件和重复试验请用 概率计算器。
原理与公式
设 A 为要判断的事件（如「患病」），B 为观察到的证据（如「检测阳性」），¬A 表示 A 不成立。 已知 先验概率 P(A)、真阳性率 P(B|A) 和假阳性率 P(B|¬A)，要求看到 B 之后 A 成立的 后验概率 P(A|B)。
公式
联合概率：P(A∩B) = P(A)·P(B|A)，P(¬A∩B) = (1−P(A))·P(B|¬A)
全概率公式：P(B) = P(A∩B) + P(¬A∩B)
贝叶斯公式：P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)，P(¬A|B) = P(¬A∩B) ÷ P(B)
每万人期望人数：联合概率 × 10 000。这是期望值，可以带小数。
算例 G1：低患病率筛查（1% / 99% / 5%）
P(A∩B) = 0.01 × 0.99 = 0.99%，P(¬A∩B) = 0.99 × 0.05 = 4.95%P(B) = 5.94%，P(A|B) = 0.99 ÷ 5.94 = 1/6 ≈ 16.6667%，P(¬A|B) ≈ 83.3333%
每万人：真阳性 99 人、假阳性 495 人、阳性共 594 人。
算例 G2：证据把概率往下拉（40% / 20% / 60%）
P(A∩B) = 8%，P(¬A∩B) = 0.6 × 0.6 = 36%，P(B) = 44%P(A|B) = 8 ÷ 44 = 2/11 ≈ 18.1818%，低于先验 40%，因为似然比 20/60 = 1/3 小于 1。
算例 G3：没有假阳性（0.1% / 90% / 0%）
P(¬A∩B) = 0，P(B) = P(A∩B) = 0.09%，所以 P(A|B) = 100%： 不会出现假阳性时，阳性就意味着 A 一定成立。
精度与舍入
全程使用高精度十进制运算，中间不舍入。概率类结果只在最后一步按四舍五入保留 4 位小数（%）， 每万人人数保留 2 位小数，末尾的 0 不显示。P(A|B) 和 P(¬A|B) 各自由精确值算出， 不是用 100 减去已舍入的数，所以两者显示值相加偶尔会差 0.0001。P(B) = 0 时后验概率没有定义， 本页直接提示错误。
常见问题
- 贝叶斯公式的后验概率怎么算？
- 分两步。第一步用全概率公式求 P(B) = P(A)·P(B|A) + P(¬A)·P(B|¬A)；第二步用贝叶斯公式 P(A|B) = P(A)·P(B|A) ÷ P(B)。以先验 1%、真阳性率 99%、假阳性率 5% 为例：P(B) = 0.01×0.99 + 0.99×0.05 = 0.0594，P(A|B) = 0.0099 ÷ 0.0594 = 1/6 ≈ 16.6667%。本页按这两步计算，只在最后一步按四舍五入保留 4 位小数。
- 贝叶斯公式里的假阳性率和特异度有什么区别？
- 两者是互补关系：假阳性率 P(B|¬A) = 1 − 特异度。特异度是「没病的人里检测阴性的比例」，假阳性率是「没病的人里检测阳性的比例」。题目写特异度 95%，就要在假阳性率一栏填 5，而不是 95。另外，如果先验为 0 且假阳性率也为 0，或者先验为 100% 且真阳性率为 0，P(B) 会等于 0，表示 B 根本不可能发生，这时后验概率没有定义，本页会提示错误而不是给出一个数。
- 贝叶斯定理怎么算筛查阳性后的患病概率？
- 筛查阳性后的患病概率取决于患病率、灵敏度和假阳性率。以下是假设数据的教学算例：设患病率 1%、灵敏度 99%、假阳性率 5%，每 10 000 人里约 100 人患病，其中 99 人阳性；9 900 名健康人里有 495 人是假阳性。阳性一共 594 人，真正患病的只有 99 人，99 ÷ 594 ≈ 16.67%。基础比率越低，假阳性在阳性里的占比就越高。这也是筛查阳性后通常还要做确诊检查的原因。本工具只做概率推算，不能代替医生诊断。
- 贝叶斯定理中先验概率和后验概率有什么区别？后验一定更大吗？
- 先验概率是观察到结果之前对 A 的估计，后验概率是看到结果 B 之后更新过的估计。后验不一定比先验大。在先验概率大于 0 且小于 100%、P(B) 大于 0 且假阳性率大于 0 时，可根据似然比判断变化方向。似然比 P(B|A) ÷ P(B|¬A)：大于 1 时后验上升，小于 1 时后验下降，等于 1 时后验不变。例如先验 40%、P(B|A) = 20%、P(B|¬A) = 60%，似然比为 1/3，后验降到 2/11 ≈ 18.1818%，比先验还低。先验为 0 或 100% 时，只要 P(B) 大于 0，后验仍等于先验；假阳性率为 0 时，不能用上述除法比较似然比。
- 全概率公式和贝叶斯公式是什么关系？
- 全概率公式是「由因求果」，把 B 发生的概率按 A、¬A 两种情况拆开再加总：P(B) = P(A∩B) + P(¬A∩B)。贝叶斯公式是「由果溯因」，已知 B 发生了，反推它来自 A 的概率：P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)。贝叶斯公式的分母就是全概率公式算出的 P(B)，所以做题时一般先算全概率，再算后验。本页只处理 A 与 ¬A 两种情况，三家工厂次品率这类多于两种情况的题目暂不支持。