等差数列计算器
等差数列计算器用于求等差数列的通项 aₙ = a₁+(n−1)d 与前 n 项和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2。输入首项、公差与项数即可，也能由首项和末项反推公差 d，并预览各项。
已知首项 a₁、公差 d 与项数 n，求通项 aₙ 与前 n 项和 Sₙ。
数列的第 1 项，可为负数或小数。
相邻两项之差 aₖ₊₁ − aₖ；正数递增、负数递减、0 为常数列。
共有多少项，正整数。
通项公式：aₙ = 2 + (n − 1) × 3
各项预览：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
怎么用
- 选择已知条件：先选你手里已知的量：知道「公差 d」就选「已知公差 d」，输入首项、公差、项数直接求通项与和；只知道首项和最后一项、想反求公差，就选「已知末项 aₙ」，工具会用 d =(aₙ − a₁)/(n − 1) 帮你反推公差。
- 填首项 a₁ 与公差 d（或末项 aₙ）：首项 a₁ 是数列的第 1 项；公差 d 是相邻两项之差 aₖ₊₁ − aₖ，可为负数（递减）、正数（递增）或 0（常数列），也可以是小数。若选「已知末项」模式，则填最后一项 aₙ 而不是公差。
- 填项数 n：项数 n 表示数列一共有多少项，需为正整数。求通项时它决定算到第几项 aₙ；求和时它决定加多少项。「已知末项」模式下 n 需不小于 2，否则无法反推公差。
- 读通项、公差与前 n 项和：每改一个数就自动重算，无需点等号。顶部大字给出核心结果（通项 aₙ 或反推出的公差 d），并列出通项公式、首项、公差、末项与前 n 项和 Sₙ，下方还预览各项，方便与题目逐项核对。
核心要点
等差数列（相邻两项之差固定为「公差 d」）的两大核心是通项和求和，都有一步到位的公式，无需逐项推。
- 通项（第 n 项）：
aₙ = a₁ + (n − 1)·d。 - 前 n 项和：
Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2，也可写成Sₙ = n·a₁ + n(n − 1)/2·d。 - 已知首项 a₁ 与末项 aₙ 时，公差
d =(aₙ − a₁)/(n − 1)。 - 公差可为负数（递减）、0（常数列）或小数；高精度运算避免浮点误差。
原理与公式
等差数列（arithmetic sequence / 等差级数）是从第 2 项起， 每一项与它前一项的差都等于同一个常数的数列，这个常数叫公差 d。若首项为 a₁，则数列为 a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, …。
通项公式（求第 n 项）
第 n 项与首项相差 n − 1 个公差，故aₙ = a₁ + (n − 1)·d
示例：首项 a₁ = 2、公差 d = 3，求第 10 项：a₁₀ = 2 + (10 − 1)×3 = 2 + 27 = 29。
求和公式（前 n 项和 Sₙ）
把首项到末项两两配对（首＋末、次首＋次末……每对都等于 a₁+aₙ），得Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2（首项＋末项，乘项数除以 2）Sₙ = n·a₁ + n(n − 1)/2·d（只用首项、公差、项数）
示例：1 + 2 + 3 + … + 100，首项 1、末项 100、项数 100：S₁₀₀ = 100×(1 + 100) / 2 = 100×101 / 2 = 5050。
由首项与末项反推公差
已知首项 a₁、末项 aₙ 与项数 n（n ≥ 2）时，公差是首末之差平均分到 n − 1 个间隔上：d =(aₙ − a₁) / (n − 1)
示例：首项 3、末项 27、共 7 项：d =(27 − 3) / 6 = 4，数列为 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27。
精度说明
工具内部以高精度十进制运算，规避原生浮点误差（0.1 + 0.2 = 0.3）；通项与求和使用闭式公式而非逐项累加， 项数很大时也能即时给出结果。展示值保留最多 6 位小数并去掉多余的零， 计算均在浏览器本地完成，不上传数据。
常见问题
- 等差数列的通项公式是什么？怎么求第 n 项？
- 等差数列是相邻两项之差为固定「公差 d」的数列。它的通项公式为 aₙ = a₁ + (n − 1)·d，其中 a₁ 是首项、n 是项的序号。例如首项 a₁ = 2、公差 d = 3 的数列 2, 5, 8, 11…，第 10 项 a₁₀ = 2 + (10 − 1)×3 = 2 + 27 = 29。只要知道首项和公差，代入序号 n 就能直接求出任意一项，不必一项项往下推。
- 等差数列求和公式 Sₙ 是什么？
- 等差数列前 n 项和有两个等价公式：① Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2，即「（首项＋末项）× 项数 ÷ 2」；② Sₙ = n·a₁ + n(n − 1)/2·d，只用首项、公差、项数就能算。两者可互相推导，其中末项 aₙ = a₁ + (n − 1)d。例如 1 + 2 + 3 + … + 100，首项 1、末项 100、项数 100，Sₙ =(1 + 100)×100 ÷ 2 = 5050——这正是高斯小时候的经典速算。
- 只知道首项和最后一项，怎么求公差 d？
- 如果知道首项 a₁、末项 aₙ 和项数 n，公差可由 d =(aₙ − a₁)/(n − 1) 反推：把首末两项之差平均分到 n − 1 个「间隔」上即可。例如首项 3、末项 27、共 7 项，则 d =(27 − 3)/(7 − 1) = 24 / 6 = 4，数列为 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27。本工具的「已知末项 aₙ」模式会自动完成这步反推，并顺带给出前 n 项和；注意此时项数 n 需不小于 2。
- 公差 d 可以是负数、0 或小数吗？
- 都可以。公差 d 为正时数列递增（如 2, 5, 8…），为负时递减（如 10, 7, 4, 1, −2…），等于 0 时所有项都等于首项（常数列，如 7, 7, 7…）。d 也可以是小数，例如首项 1、公差 0.25 的数列 1, 1.25, 1.5…。通项公式 aₙ = a₁ + (n − 1)d 与求和公式对任意实数公差都成立；本工具采用高精度十进制运算，避免小数相加时常见的浮点误差（如 0.1 + 0.2 得 0.30000000000000004）。
- 什么是等差中项？怎么求？
- 如果三个数 a、b、c 成等差数列，中间那项 b 就叫 a 与 c 的等差中项，满足 b =(a + c)/2，也就是等差中项等于相邻两项的平均数。例如 3 和 11 的等差中项是(3 + 11)/2 = 7，数列 3, 7, 11 的公差为 4。想判断三个数是否成等差数列，只需看中间项是否等于两端的平均，即 2b = a + c 是否成立。推广开来，等差数列中任意一项都是它前后相邻两项的等差中项，这也是「相邻两项之差恒定」的另一种说法；用本工具填入首项与公差，预览各项即可直观验证。
- 等差数列和等比数列有什么区别？
- 看相邻两项的关系：等差数列是相邻两项之「差」固定（公差 d，做加减法，如 3, 7, 11, 15，每次 +4）；等比数列是相邻两项之「比」固定（公比 r，做乘除法，如 3, 6, 12, 24，每次 ×2）。求和公式也不同：等差是 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2，等比是 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)。若你要算的是等比数列或想把任意一组数直接相加，可用本站的「数列求和计算器」。
- 项数 n 很大或只有 1 项时结果对吗？数据会上传吗？
- n = 1 时数列只有首项，通项 aₙ 和前 n 项和 Sₙ 都等于首项 a₁。n 很大时工具用闭式公式（不逐项累加）直接给出准确的通项与求和，瞬间完成；为便于核对，明细区最多预览前 100 项（并非只算这几项，求和始终是完整的前 n 项）。展示值保留最多 6 位小数并去掉多余的零。所有计算都在你的浏览器本地完成，不联网、不上传任何数据。