等差数列求和公式是什么？怎么用？

等差数列（相邻两项之差为固定「公差 d」）前 n 项和有两个等价公式：① Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2，即「（首项＋末项）× 项数 ÷ 2」；② Sₙ = n·a₁ + n(n−1)/2·d，只用首项、公差和项数就能算。其中末项 aₙ = a₁ + (n−1)d。例如 1+2+3+…+100，首项 1、公差 1、项数 100，Sₙ =(1+100)×100÷2 = 5050，这正是高斯小时候的经典算法。

等比数列求和公式是什么？公比等于 1 怎么办？

等比数列（相邻两项之比为固定「公比 r」）前 n 项和：当 r ≠ 1 时 Sₙ = a₁·(1 − rⁿ) / (1 − r)；当 r = 1 时各项都等于 a₁，直接 Sₙ = n·a₁。末项 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹。例如 1+2+4+8+16，首项 1、公比 2、项数 5，Sₙ = 1×(1−2⁵)/(1−2) = (1−32)/(−1) = 31。本工具会自动区分 r = 1 的特殊情形，无需你手动判断。

公比可以是负数或小数吗？

可以。公比 r 为负数时数列正负交替，例如首项 1、公比 −2 的前 4 项是 1, −2, 4, −8，其和为 −5；公比 r 为 0 到 1 之间的小数时数列递减，例如首项 1、公比 0.5 的前 4 项 1, 0.5, 0.25, 0.125，其和为 1.875。求和公式 Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r) 对任意 r ≠ 1 都成立，本工具用高精度十进制运算，避免小数相加的浮点误差。特别地，公比 r = 0 时除首项外各项都是 0，前 n 项和就等于首项 a₁。

「前 n 项和 Sₙ」和「无穷级数的和」一样吗？

不一样。本工具算的是有限项的「前 n 项和 Sₙ」——把前 n 项加起来。而无穷级数是项数趋于无穷的和：只有等比数列在公比满足 |r| < 1 时，前 n 项和才会收敛到极限 S = a₁/(1 − r)（如 1+1/2+1/4+… = 2）；|r| ≥ 1 时无穷和发散、没有有限值。若你要的是「无限项之和」，可把项数 n 填大观察 Sₙ 的变化趋势，但请注意本工具给出的始终是有限的前 n 项和。

怎么判断一个数列是等差还是等比？

看相邻两项的关系：如果每一项减去前一项都得到同一个常数，就是等差数列，这个常数是公差 d（如 3, 7, 11, 15，公差 4）；如果每一项除以前一项都得到同一个常数，就是等比数列，这个常数是公比 r（如 3, 6, 12, 24，公比 2）。两者都不满足的一般数列，可用本工具的「自定义数列」模式直接把各项相加求总和。

项数 n 必须是正整数吗？填 1 或很大的数会怎样？

项数 n 表示要相加的项数，需填正整数（n ≥ 1）；填 0、负数或小数会提示无法计算，项数过大超出工具上限时也会给出提示。n = 1 时数列只有首项，前 n 项和 Sₙ 就等于首项 a₁。n 很大时闭式公式依然能瞬间给出准确的 Sₙ；为便于核对，明细区最多预览前 100 项（并非只加这几项，求和始终是完整的前 n 项）。

计算结果精确吗？数据会上传吗？

内部采用高精度十进制运算，规避 JavaScript 原生浮点的经典误差（如 0.1+0.2 会得到 0.30000000000000004），等差/等比求和使用闭式公式（不逐项累加），项数很大时也能快速、准确地给出结果。展示值保留最多 6 位小数并去掉多余的零；当数值极大或用极端科学记数法时，展示值可能只适合判断量级。所有计算都在你的浏览器本地完成，不联网、不上传任何数据。

数列求和计算器

数列求和计算器用于计算等差数列、等比数列的前 n 项和 Sₙ 与通项，也支持把任意一组数字直接相加；输入首项、公差或公比与项数即可，边界（如公比 = 1）自动处理。

数列类型

等差数列：每一项比前一项多一个固定的「公差 d」，如 2, 5, 8, 11…

首项 a₁

数列的第 1 项。

公差 d

相邻两项之差 aₖ₊₁ − aₖ，可为负数或小数。

项数 n

要相加的项数，正整数。求前 n 项和 Sₙ。

等差数列前 n 项和（S10）

共 10 项 · 首项 1 · 末项 10

项数 (n)10

前 n 项和 (Sₙ)55

首项 (a₁)1

末项 (aₙ)10

各项预览：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

怎么用

选择数列类型：先选「等差数列」「等比数列」或「自定义数列」。相邻两项之差固定的选等差（如 2, 5, 8, 11）；相邻两项之比固定的选等比（如 1, 2, 4, 8）；若只是想把一堆现成的数加起来，选自定义直接粘贴即可。
填首项、公差/公比与项数：等差数列填首项 a₁、公差 d 与项数 n；等比数列填首项 a₁、公比 r 与项数 n。公差、公比都可以是负数或小数，公比等于 1 时各项相等。项数 n 是要相加的项数，需为正整数。
即时读前 n 项和：每改一个数就自动重算，无需点等号。顶部大字给出前 n 项和 Sₙ，下方明细列出项数、首项、末项 aₙ，并预览各项，方便核对是否与你手里的题目一致。
自定义数列直接求和：选「自定义数列」时，把一列数字用逗号、空格或换行分隔粘贴进去（可从 Excel 一列直接复制），工具会给出总和与识别到的数据个数，适合把任意一组数快速加总。

核心要点

数列求和就是把数列的前若干项加起来。对有规律的数列，用公式一步到位，比逐项相加又快又不易错。

等差数列（差固定）：Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2，末项 aₙ = a₁ + (n−1)d。
等比数列（比固定）：Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r)（r ≠ 1），r = 1 时 Sₙ = n·a₁。
不确定规律时，用「自定义数列」直接粘贴一组数求总和。
公差、公比可为负数或小数；本工具用高精度运算避免浮点误差。

原理与公式

「数列求和」是求一个数列前 n 项之和 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ。对最常见的两类特殊数列——等差数列和等比数列——都有简洁的闭式求和公式，不必逐项相加。

等差数列求和

相邻两项之差为固定公差 d 的数列。通项 aₙ = a₁ + (n−1)d，前 n 项和有两个等价形式：
Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2（首项＋末项，乘项数除以 2）
Sₙ = n·a₁ + n(n−1)/2·d（只用首项、公差、项数）

示例：1+2+3+…+100，首项 1、公差 1、项数 100：
S₁₀₀ = 100×(1 + 100) / 2 = 100×101 / 2 = 5050。

等比数列求和

相邻两项之比为固定公比 r 的数列。通项 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹，前 n 项和：
Sₙ = a₁·(1 − rⁿ) / (1 − r)（当 r ≠ 1）
Sₙ = n·a₁（当 r = 1，各项相等）

示例：1+2+4+8+16，首项 1、公比 2、项数 5：
S₅ = 1×(1 − 2⁵) / (1 − 2) = (1 − 32) / (−1) = 31。

有限和 vs 无穷级数

本工具求的是有限项的前 n 项和。对等比数列，当 |r| < 1 时前 n 项和随 n 增大收敛到极限 S = a₁ / (1 − r)（如 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2）；当 |r| ≥ 1 时无穷和发散。若需观察收敛趋势，可把项数 n 逐渐加大。

自定义数列

对没有明显规律的一般数列，直接把各项相加即可：S = Σxᵢ。「自定义数列」模式支持粘贴任意一组数（逗号、空格或换行分隔），适合把成绩、金额、计数等现成数据快速加总。

精度：内部以高精度十进制运算，规避原生浮点误差（0.1 + 0.2 = 0.3）；等差/等比使用闭式公式而非逐项累加，项数很大时也能即时给出结果。展示值保留最多 6 位小数并去掉多余的零，计算均在浏览器本地完成，不上传数据。

常见问题

等差数列求和公式是什么？怎么用？: 等差数列（相邻两项之差为固定「公差 d」）前 n 项和有两个等价公式：① Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2，即「（首项＋末项）× 项数 ÷ 2」；② Sₙ = n·a₁ + n(n−1)/2·d，只用首项、公差和项数就能算。其中末项 aₙ = a₁ + (n−1)d。例如 1+2+3+…+100，首项 1、公差 1、项数 100，Sₙ =(1+100)×100÷2 = 5050，这正是高斯小时候的经典算法。
等比数列求和公式是什么？公比等于 1 怎么办？: 等比数列（相邻两项之比为固定「公比 r」）前 n 项和：当 r ≠ 1 时 Sₙ = a₁·(1 − rⁿ) / (1 − r)；当 r = 1 时各项都等于 a₁，直接 Sₙ = n·a₁。末项 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹。例如 1+2+4+8+16，首项 1、公比 2、项数 5，Sₙ = 1×(1−2⁵)/(1−2) = (1−32)/(−1) = 31。本工具会自动区分 r = 1 的特殊情形，无需你手动判断。
公比可以是负数或小数吗？: 可以。公比 r 为负数时数列正负交替，例如首项 1、公比 −2 的前 4 项是 1, −2, 4, −8，其和为 −5；公比 r 为 0 到 1 之间的小数时数列递减，例如首项 1、公比 0.5 的前 4 项 1, 0.5, 0.25, 0.125，其和为 1.875。求和公式 Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r) 对任意 r ≠ 1 都成立，本工具用高精度十进制运算，避免小数相加的浮点误差。特别地，公比 r = 0 时除首项外各项都是 0，前 n 项和就等于首项 a₁。
「前 n 项和 Sₙ」和「无穷级数的和」一样吗？: 不一样。本工具算的是有限项的「前 n 项和 Sₙ」——把前 n 项加起来。而无穷级数是项数趋于无穷的和：只有等比数列在公比满足 |r| < 1 时，前 n 项和才会收敛到极限 S = a₁/(1 − r)（如 1+1/2+1/4+… = 2）；|r| ≥ 1 时无穷和发散、没有有限值。若你要的是「无限项之和」，可把项数 n 填大观察 Sₙ 的变化趋势，但请注意本工具给出的始终是有限的前 n 项和。
怎么判断一个数列是等差还是等比？: 看相邻两项的关系：如果每一项减去前一项都得到同一个常数，就是等差数列，这个常数是公差 d（如 3, 7, 11, 15，公差 4）；如果每一项除以前一项都得到同一个常数，就是等比数列，这个常数是公比 r（如 3, 6, 12, 24，公比 2）。两者都不满足的一般数列，可用本工具的「自定义数列」模式直接把各项相加求总和。
项数 n 必须是正整数吗？填 1 或很大的数会怎样？: 项数 n 表示要相加的项数，需填正整数（n ≥ 1）；填 0、负数或小数会提示无法计算，项数过大超出工具上限时也会给出提示。n = 1 时数列只有首项，前 n 项和 Sₙ 就等于首项 a₁。n 很大时闭式公式依然能瞬间给出准确的 Sₙ；为便于核对，明细区最多预览前 100 项（并非只加这几项，求和始终是完整的前 n 项）。
计算结果精确吗？数据会上传吗？: 内部采用高精度十进制运算，规避 JavaScript 原生浮点的经典误差（如 0.1+0.2 会得到 0.30000000000000004），等差/等比求和使用闭式公式（不逐项累加），项数很大时也能快速、准确地给出结果。展示值保留最多 6 位小数并去掉多余的零；当数值极大或用极端科学记数法时，展示值可能只适合判断量级。所有计算都在你的浏览器本地完成，不联网、不上传任何数据。

怎么用