质数判断计算器
在线质数判断计算器：输入一个正整数，一步判断它是质数还是合数。合数给出最小质因数与分解式，质数说明试除依据，并对 10 亿以内的数给出前后相邻质数。全程整数(BigInt)精确运算，支持大到 10 万亿的整数。
支持 1 到 10 万亿（10¹³）之间的整数，结果用整数（BigInt）精确判断。
判断结果
97 是质数
97 是质数：在 2 到 √97（约 9）之间没有能整除它的数，除了 1 和它本身外没有其它正约数。
只需试除到 √n⌊√97⌋ = 9前一个质数89下一个质数101
怎么用
- 输入正整数：在输入框里填一个正整数，例如 97。支持 1 到 10 万亿（10¹³）之间的整数，全程用整数（BigInt）精确判断，不会丢精度。
- 自动出判断结果：每改一次输入立即判断，给出「是质数 / 是合数 / 既非质数也非合数」的结论，并用一句话说明理由。
- 看判定依据：若是合数，工具给出能整除它的最小质因数与对应分解（如 91 = 7 × 13）；若是质数，会说明在 2 到 √n 之间都找不到约数。
- 查相邻质数：对 10 亿以内的数，结果还给出前一个质数与下一个质数，方便找相邻质数、判断孪生质数等。
原理与公式
质数：大于 1 且只有 1 和自身两个正约数的整数。合数：大于 1 且还有其它正约数的整数。1 是「单位」，既非质数也非合数。
试除法（trial division）
依次用 2、3、5、7… 去试除 n。只要找到一个能整除 n 的数，n 就是合数， 该数即「最小质因数」；若试到 √n 仍无约数，n 即为质数。
为什么只试到 √n
若 n = a × b 且 a ≤ b，则 a ≤ √n。 所以约数若存在，必有一个落在 √n 以内；试到 √n没找到，就说明 n 无真因子。
例 97：⌊√97⌋ = 9，逐一试除 2~9 都不整除， 故 97 是质数。
例 91：试到 7 时 91 ÷ 7 = 13， 故 91 = 7 × 13 是合数。
精度：全程用整数（BigInt）取余判断，不经过浮点， 所有计算在浏览器本地完成。
常见问题
- 什么是质数？什么是合数？
- 质数（素数）是大于 1、且只能被 1 和它本身整除的整数，例如 2、3、5、7、11、13、97。合数是大于 1、除了 1 和它本身外还有其它正约数的整数，例如 4=2×2、12=2×6、91=7×13。换句话说，大于 1 的整数非质即合。本工具输入一个数即判断它属于哪一类，并给出依据。
- 1 是质数吗？2 是质数吗？
- 1 既不是质数也不是合数：质数要求「大于 1 且只有两个正约数（1 和自身）」，而 1 只有一个正约数，所以被单独归为「单位」。2 是质数——它是最小的质数，也是唯一的偶质数（其它偶数都能被 2 整除，必为合数）。本工具遇到 1 会明确提示它既非质数也非合数，遇到 2 会判为质数。
- 怎么判断一个数是不是质数？
- 最直接的方法是试除法（trial division）：用 2、3、4… 一直试到 √n，只要有一个数能整除 n，n 就是合数；如果试到 √n 都没有约数，n 就是质数。为什么只到 √n？因为若 n = a × b 且 a ≤ b，则较小的因子 a 必不超过 √n，所以约数若存在，必有一个落在 √n 以内。本工具正是用这一方法，并给出能整除它的最小质数作为「合数的证据」。
- 为什么只需要试除到根号 n？
- 假设 n 是合数，可写成 n = a × b（a、b 都大于 1）。若两个因子都大于 √n，则 a × b 会大于 n，矛盾；所以两个因子里至少有一个不超过 √n。因此只要在 2 到 √n 之间找不到任何约数，就能断定 n 没有真因子，是质数。例如判断 97 是不是质数，只需试到 ⌊√97⌋ = 9，发现 2~9 都不能整除 97，即可确认 97 是质数。
- 这个工具能判断多大的数？很大的数也准吗？
- 支持 1 到 10 万亿（10¹³）之间的整数，全程用整数（BigInt）精确取余，不经过 JavaScript 浮点数，因此结论绝对精确、不会因舍入出错。超过该范围会提示数字过大——因为通用试除法对极大的数会变慢（这也是 RSA 等密码学把「大数难分解」当作安全基础的原因）。对 10 亿以内的数，工具还会顺带给出前后相邻的质数。
- 质数判断有什么用？
- 用途很广：①密码学，RSA 加密依赖大质数，密钥生成需要快速判定质数；②数学题与编程题里常需判断质数、求质数表、找孪生质数（相差 2 的两个质数，如 11 和 13）；③质因数分解、约分通分、求最大公约数/最小公倍数都以质数为基础。需要进一步把一个数拆成质因数相乘，可用本站的质因数分解计算器。