竖式除法怎么列？长除法的每一步顺序是什么？

四步一循环：试商、乘、减、落。① 从被除数最高位起，取够一个比除数大（或相等）的数，看它里面最多有几个除数，这个数就是商的这一位，写在被除数这一位的上方；② 把这一位商乘除数，积写在这个数下面；③ 相减，差写在横线下面，差必须比除数小，否则商小了；④ 把被除数的下一位落下来接在差的后面，重复①—③，直到被除数的每一位都除完。以 492 ÷ 4 为例：4 里有 1 个 4，商 1，1×4=4，4−4=0；落下 9，9 里有 2 个 4，商 2，2×4=8，9−8=1；落下 2 得 12，12 里有 3 个 4，商 3，3×4=12，减完为 0，所以 492 ÷ 4 = 123。

有余数的竖式除法怎么写余数？余数一定要比除数小吗？

余数写在竖式最后一次相减的差的位置，答语写成「商 x 余 y」。余数必须比除数小，这是检查竖式对不对的第一条硬标准：如果余数大于或等于除数，说明这一位商试小了，还能再除一次，要把商加 1 重算。例如 49 ÷ 4，商 12 余 1，1 4 就错了。验算用「商 × 除数 + 余数 = 被除数」：12 × 4 + 1 = 49 ✓。本工具选「商和余数」时会直接给出这条验算式，方便核对。

小数除法的竖式怎么列？商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐？

除数是整数时，按整数除法的步骤除，商的小数点和被除数的小数点上下对齐即可。原因在于每一位商都代表它所在数位上的份数：被除数十分位上的数除出来的商也只能是十分位，位置一对齐，数位就自动对上了。例如 49.2 ÷ 4：先算 49 ÷ 4 得 12 余 1，落下十分位的 2 得 12 个十分之一，12 ÷ 4 = 3 写在十分位上，商就是 12.3。整数部分不够除时商的整数位写 0，如 0.05 ÷ 5 = 0.01。本工具会把商、被除数的小数点画在同一列上，直接看得出对齐关系。

除数是小数的竖式除法怎么算？为什么余数会比看起来小？

先把除数变成整数：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动同样的位数，位数不够就在末尾添 0，然后按除数是整数的竖式除法算。因为被除数、除数同时扩大相同倍数，商不变——但余数会跟着被扩大，必须还原。例如 5 ÷ 0.7：两个数都右移 1 位变成 50 ÷ 7，竖式得商 7、剩下 1；这个 1 是扩大 10 倍后的余数，真正的余数是 1 ÷ 10 = 0.1，验算 7 × 0.7 + 0.1 = 5 ✓。这是小数除法最容易丢分的一步，本工具会同时显示竖式里剩下的数和还原后的真正余数。

竖式除法除不尽怎么办？什么时候添 0 继续除、什么时候写成循环小数？

被除数除完还有余数时，先在商的相应位置点上小数点，再在余数后面添 0 继续除，添几个 0 就多除出几位小数。添 0 后余数变成 0，说明除得尽，商是有限小数，如 1 ÷ 8 = 0.125。如果某个余数重复出现，后面的商就会照原样循环，这就是循环小数，如 10 ÷ 3 = 3.333…、1 ÷ 7 = 0.142857142857…。判断能否除尽有个快办法：把除数化成最简分数的分母，只含质因数 2 和 5 才除得尽（如 8、25、40），含 3、7 等就必然循环。教材里循环小数在循环节数字上方点圆点表示，本工具用括号表示，如 0.(3)、0.1(6)、0.(142857)。

竖式除法保留两位小数要除到第几位？四舍五入、进一法、去尾法怎么选？

求商的近似值要比要保留的位数多除一位，再按要求取舍：保留两位小数就除到千分位，保留整数就除到十分位。默认用四舍五入，多出的那一位满 5 进 1、不满 5 舍去，结果用「≈」不用「=」，如 10 ÷ 3 除到 3.333，保留两位是 3.33；2 ÷ 3 除到 0.666，保留两位是 0.67。非负数量场景中，不够一份也得算一份的用进一法，如 25 千克油每 4 千克装一桶，需要 7 个桶；不够一份就不算的用去尾法，如 25 米布每 4 米做一件，只能做 6 件。负数使用这两种方式时，本工具按绝对值取舍后恢复负号，不应当作数学上的向上或向下取整。

除数是两位数的竖式除法怎么试商？商写在哪一位上？

试商常用四舍五入的「看整十数」法：把除数看成最接近的整十数去估。除数个位是 1—4 时四舍看小（如 32 看成 30，商可能偏大，偏大就调小），个位是 5—9 时五入看大（如 38 看成 40，商可能偏小，偏小就调大）。商的位置由被除数的前几位决定：先用被除数的前两位去除，够除就把商写在第二位（十位）上，不够除就多取一位、把商写在第三位上。例如 585 ÷ 39，58 够除 39，商的首位写在十位上；58 ÷ 39 试 1，58−39=19，落下 5 得 195，195 ÷ 39 = 5，商是 15。每一步减完的差都要小于 39，否则说明试小了。

竖式除法算完怎么验算？和用计算器直接除有什么区别？

整除时用「商 × 除数 = 被除数」，有余数时用「商 × 除数 + 余数 = 被除数」，求近似值时乘回去应该约等于被除数。另外还有两个快检查：余数必须小于除数；商的位数与竖式里商的最高位对齐位置一致。计算器只给一个最终数字，而且遇到 1 ÷ 3 这类会显示成 0.3333333 这样被截断的近似值，看不出循环节；竖式除法要求写出每一步的乘、减、落，作业与考试评分看的正是这个过程。本工具用精确整数运算列出每一步，还会区分「除得尽」「循环小数」「四舍五入后的近似值」三种情况，正好补上计算器缺的过程与判断。

竖式除法计算器

输入被除数与除数，竖式除法计算器会列出试商、乘、减、落的完整长除法步骤，并给出商、余数、小数近似值或循环节。

被除数（被分的那个数）

除数（每份是多少 / 分成几份）

除数是小数也可以：工具会照课本的办法把除数的小数点去掉、被除数的小数点右移同样位数，再列竖式。除数不能是 0。

除到哪一步

「商和余数」除到个位就停，给出整数商与余数；「保留小数位」按要求的位数取舍；「除到除尽」一直添 0 除下去，除不尽会自动认出循环节。

492 ÷ 4 的竖式结果

商 123（整除）

算式492 ÷ 4整数商123余数0能否除尽整除，余数为 0精确的商123验算123 × 4 + 0 = 492

竖式（商与被除数的小数点上下对齐）

每一步在算什么（乘、减、落）

整数部分：4 ÷ 4 商 1，1 × 4 = 4，4 − 4 = 0；落下9，得 9。
整数部分：9 ÷ 4 商 2，2 × 4 = 8，9 − 8 = 1；落下2，得 12。
整数部分：12 ÷ 4 商 3，3 × 4 = 12，12 − 12 = 0，正好除完。

怎么用

填被除数与除数：把要算的除法按「被除数 ÷ 除数」填进两个输入框，可以是整数也可以是小数，如 492 与 4、49.2 与 4、5 与 0.7。除数不能是 0；负号也支持，竖式按绝对值列、符号加在商上。
选除到哪一步：「商和余数」除到个位就停，给出整数商和余数，适合三、四年级的有余数除法；「保留小数位」按要求的位数取舍，适合求商的近似值；「除到除尽」一直添 0 除下去，除得尽给出精确小数，除不尽自动认出循环节。
保留小数时选好位数与取舍：选「保留小数位」后再选保留几位、末位怎么取舍：一般题目用四舍五入；装箱、装瓶、租车这类非负数量中，不够一份也要算一份的用进一法；裁料、分装这类不够一份就不算的用去尾法。工具会先除到比保留位数多一位，再按选定方式取舍。负数使用进一法或去尾法时，工具按绝对值取舍后恢复负号，不等同于数学上的向正无穷或向负无穷取整。
照着竖式与步骤抄：结果区先给商与余数，再画出完整竖式：商与被除数的小数点上下对齐，每一位商下面是「乘得多少、减剩多少」，浅色的 0 是除不尽时添的 0。下面还有一句一步的文字过程（试商、乘、减、落），可直接照抄到作业本上并用验算式核对。

核心要点

竖式除法（长除法）先给结论：从被除数最高位起，重复「试商 → 乘 → 减 → 落」四步，每一位商写在它所除的那一位数字上方，最后剩下的数就是余数。

四步循环：试商（这个数里有几个除数）→ 乘（商 × 除数）→ 减（差要小于除数）→ 落（把下一位落下来）。
验算：商 × 除数 + 余数 = 被除数，且 余数 < 除数；不满足就是试商错了。
小数除法：商的小数点与被除数的小数点上下对齐，49.2 ÷ 4 = 12.3。
除数是小数：两数小数点同时右移，除数化成整数，5 ÷ 0.7 → 50 ÷ 7；商不变，但余数要按倍数还原（竖式剩 1，真正余数 0.1）。
除不尽：点上小数点后在余数末尾添 0 继续除；余数重复出现即为循环小数，如 10 ÷ 3 = 3.(3)。
求近似值：比要保留的位数多除一位再取舍，四舍五入 / 进一法（装箱装瓶）/ 去尾法（裁料分装），结果写「≈」；后两种主要用于非负数量，负数会按绝对值取舍后恢复负号。
学段：人教版三年级下册（除数是一位数）、四年级上册（除数是两位数）、五年级上册第三单元（小数除法、商的近似值、循环小数）。

原理与公式

竖式除法又叫长除法，是把一个多位数除法拆成「一位一位地除」的书面算法：按数位从高到低，每次只解决「这一位商几」，把乘、减、落的过程写在竖式里，从而在不借助计算器的情况下算出商与余数，并留下可检查的过程。

竖式各部分的名称与位置

被除数写在「⟌」（横线加竖线）里面，除数写在左边，商写在横线上方、与被除数的数位一一对齐。
每算一位商，就在被除数（或上一步的差）下面写积（商这一位 × 除数），画横线后写差。
最后一次相减的差就是余数；余数为 0 表示整除。

算法：试商 → 乘 → 减 → 落

试商：从被除数最高位起取一段，使它不小于除数，看这段里最多有几个除数，商写在这一段末位的上方。
乘：这一位商 × 除数，积写在这段数下面，数位对齐。
减：差 = 这段数 − 积，差必须 < 除数。
落：把被除数的下一位落下来接在差后面，回到第 1 步；被除数每一位都除完后，剩下的差就是余数。

算例 1：492 ÷ 4 = 123（整除）

4 ÷ 4 = 1（商写在百位）→ 9 ÷ 4 = 2 余 1（商写在十位）→ 落下 2 得 12 ÷ 4 = 3（商写在个位），差为 0，所以商是 123。验算 123 × 4 = 492 ✓。若被除数改成 49，则商 12 余 1，12 × 4 + 1 = 49 ✓，注意 1 < 4。

算例 2：49.2 ÷ 4 = 12.3（商的小数点对齐）

      1 2 . 3
    ----------
  4 ) 4 9 . 2
      4
      -
        9
        8
        -
        1   2
        1   2
        -----
            0

除数是整数的小数除法，按整数除法的步骤除，商的小数点与被除数的小数点上下对齐。竖式里 12 减 12 后差为 0，商 12.3。整数部分不够除时，商的整数位写 0：0.05 ÷ 5 = 0.01。

算例 3：5 ÷ 0.7（除数是小数，要移小数点）

除数是小数时，先把除数的小数点向右移动，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动同样的位数（位数不够在末尾添 0）：5 ÷ 0.7 → 50 ÷ 7。

竖式得商 7、剩下 1。被除数与除数同时扩大 10 倍，商不变，余数却也被扩大了 10 倍，所以真正的余数是 1 ÷ 10 = 0.1，验算 7 × 0.7 + 0.1 = 5 ✓。这一点是小数除法最常见的失分处，本工具会同时给出「竖式里剩下的数」与「还原后的余数」。

除不尽：添 0 继续除与循环小数

被除数除完仍有余数时，先在商的对应位置点上小数点，再在余数后面添 0 继续除：

除得尽：某一步余数为 0，商是有限小数，如 1 ÷ 8 = 0.125、10 ÷ 4 = 2.5。
除不尽：某个余数重复出现，之后的商必然照原样重复，得到循环小数，如 10 ÷ 3 = 3.333…、1 ÷ 6 = 0.1666…、1 ÷ 7 = 0.142857142857…。
判据：把除法写成分数并约分，分母只含质因数 2 和 5（如 2、4、5、8、20、25）才除得尽；含 3、7、11 等一定是循环小数。

循环小数在教材里用循环节数字上方点圆点表示；网页不便排点，本工具改用括号标注循环节：3.(3)、0.1(6)、0.(142857)。

商的近似值：多除一位再取舍

要求「保留两位小数」时，先除到千分位（比保留位数多一位），再按要求取舍，结果用「≈」：

四舍五入（默认）：10 ÷ 3 ≈ 3.33、2 ÷ 3 ≈ 0.67。
进一法：不够一份也要算一份。25 千克油每 4 千克装一桶，25 ÷ 4 = 6.25 → 需要 7 个桶。
去尾法：不够一份就不算。25 米布每 4 米做一件，25 ÷ 4 = 6.25 → 只能做 6 件。

试商技巧（除数是两位数）

把除数看成最接近的整十数去估商：个位 1—4 四舍看小（32 看作 30，试商可能偏大，偏大就减 1），个位 5—9 五入看大（38 看作 40，试商可能偏小，偏小就加 1）。例如 585 ÷ 39：58 够除 39，首位商写在十位上，试 1 得差 19，落下 5 得 195，195 ÷ 39 = 5，商为 15。每步差都要小于 39。

精度说明

本工具全程使用精确的大整数运算（不使用浮点数），每一步的积、差、余数都是精确值：小数输入会先按教材办法移小数点化成整数除法，循环节由「余数重复」精确判定，近似值只在最后一步按你选择的方式取舍一次，不会二次舍入。有效数字与保留位数上限见输入提示。

常见问题

竖式除法怎么列？长除法的每一步顺序是什么？: 四步一循环：试商、乘、减、落。① 从被除数最高位起，取够一个比除数大（或相等）的数，看它里面最多有几个除数，这个数就是商的这一位，写在被除数这一位的上方；② 把这一位商乘除数，积写在这个数下面；③ 相减，差写在横线下面，差必须比除数小，否则商小了；④ 把被除数的下一位落下来接在差的后面，重复①—③，直到被除数的每一位都除完。以 492 ÷ 4 为例：4 里有 1 个 4，商 1，1×4=4，4−4=0；落下 9，9 里有 2 个 4，商 2，2×4=8，9−8=1；落下 2 得 12，12 里有 3 个 4，商 3，3×4=12，减完为 0，所以 492 ÷ 4 = 123。
有余数的竖式除法怎么写余数？余数一定要比除数小吗？: 余数写在竖式最后一次相减的差的位置，答语写成「商 x 余 y」。余数必须比除数小，这是检查竖式对不对的第一条硬标准：如果余数大于或等于除数，说明这一位商试小了，还能再除一次，要把商加 1 重算。例如 49 ÷ 4，商 12 余 1，1 < 4 成立；若算成商 11 余 5，5 > 4 就错了。验算用「商 × 除数 + 余数 = 被除数」：12 × 4 + 1 = 49 ✓。本工具选「商和余数」时会直接给出这条验算式，方便核对。
小数除法的竖式怎么列？商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐？: 除数是整数时，按整数除法的步骤除，商的小数点和被除数的小数点上下对齐即可。原因在于每一位商都代表它所在数位上的份数：被除数十分位上的数除出来的商也只能是十分位，位置一对齐，数位就自动对上了。例如 49.2 ÷ 4：先算 49 ÷ 4 得 12 余 1，落下十分位的 2 得 12 个十分之一，12 ÷ 4 = 3 写在十分位上，商就是 12.3。整数部分不够除时商的整数位写 0，如 0.05 ÷ 5 = 0.01。本工具会把商、被除数的小数点画在同一列上，直接看得出对齐关系。
除数是小数的竖式除法怎么算？为什么余数会比看起来小？: 先把除数变成整数：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动同样的位数，位数不够就在末尾添 0，然后按除数是整数的竖式除法算。因为被除数、除数同时扩大相同倍数，商不变——但余数会跟着被扩大，必须还原。例如 5 ÷ 0.7：两个数都右移 1 位变成 50 ÷ 7，竖式得商 7、剩下 1；这个 1 是扩大 10 倍后的余数，真正的余数是 1 ÷ 10 = 0.1，验算 7 × 0.7 + 0.1 = 5 ✓。这是小数除法最容易丢分的一步，本工具会同时显示竖式里剩下的数和还原后的真正余数。
竖式除法除不尽怎么办？什么时候添 0 继续除、什么时候写成循环小数？: 被除数除完还有余数时，先在商的相应位置点上小数点，再在余数后面添 0 继续除，添几个 0 就多除出几位小数。添 0 后余数变成 0，说明除得尽，商是有限小数，如 1 ÷ 8 = 0.125。如果某个余数重复出现，后面的商就会照原样循环，这就是循环小数，如 10 ÷ 3 = 3.333…、1 ÷ 7 = 0.142857142857…。判断能否除尽有个快办法：把除数化成最简分数的分母，只含质因数 2 和 5 才除得尽（如 8、25、40），含 3、7 等就必然循环。教材里循环小数在循环节数字上方点圆点表示，本工具用括号表示，如 0.(3)、0.1(6)、0.(142857)。
竖式除法保留两位小数要除到第几位？四舍五入、进一法、去尾法怎么选？: 求商的近似值要比要保留的位数多除一位，再按要求取舍：保留两位小数就除到千分位，保留整数就除到十分位。默认用四舍五入，多出的那一位满 5 进 1、不满 5 舍去，结果用「≈」不用「=」，如 10 ÷ 3 除到 3.333，保留两位是 3.33；2 ÷ 3 除到 0.666，保留两位是 0.67。非负数量场景中，不够一份也得算一份的用进一法，如 25 千克油每 4 千克装一桶，需要 7 个桶；不够一份就不算的用去尾法，如 25 米布每 4 米做一件，只能做 6 件。负数使用这两种方式时，本工具按绝对值取舍后恢复负号，不应当作数学上的向上或向下取整。
除数是两位数的竖式除法怎么试商？商写在哪一位上？: 试商常用四舍五入的「看整十数」法：把除数看成最接近的整十数去估。除数个位是 1—4 时四舍看小（如 32 看成 30，商可能偏大，偏大就调小），个位是 5—9 时五入看大（如 38 看成 40，商可能偏小，偏小就调大）。商的位置由被除数的前几位决定：先用被除数的前两位去除，够除就把商写在第二位（十位）上，不够除就多取一位、把商写在第三位上。例如 585 ÷ 39，58 够除 39，商的首位写在十位上；58 ÷ 39 试 1，58−39=19，落下 5 得 195，195 ÷ 39 = 5，商是 15。每一步减完的差都要小于 39，否则说明试小了。
竖式除法算完怎么验算？和用计算器直接除有什么区别？: 整除时用「商 × 除数 = 被除数」，有余数时用「商 × 除数 + 余数 = 被除数」，求近似值时乘回去应该约等于被除数。另外还有两个快检查：余数必须小于除数；商的位数与竖式里商的最高位对齐位置一致。计算器只给一个最终数字，而且遇到 1 ÷ 3 这类会显示成 0.3333333 这样被截断的近似值，看不出循环节；竖式除法要求写出每一步的乘、减、落，作业与考试评分看的正是这个过程。本工具用精确整数运算列出每一步，还会区分「除得尽」「循环小数」「四舍五入后的近似值」三种情况，正好补上计算器缺的过程与判断。

怎么用