问卷数据怎么分析？样本量、卡方与相关系数选型
问卷回收了两百份，表格打开却不知道该先算什么——做调研卡住的往往是这一步。调研数据的分析方法选型，指的是先确认你要回答哪类问题、手里那几列是数值还是分类，再决定用变异系数比波动、用卡方检验看分类关联、用相关系数看数值共变；而样本量决定这些结论最终能不能站得住。方法选错，公式算得再准也答不了你的问题。
先定你要回答的是哪类问题
选统计量只看两件事：你想回答的问题形态，以及手里那几列数据是数值还是分类， 公式都是跟着这两件事走的。 跳过这一步直接找公式，常见的后果是把类别编号当数值去算相关系数， 或者拿一列连续数据去凑列联表。
| 你想回答的问题 | 需要的列类型 | 用哪个统计量 | 对样本量的门槛 |
|---|---|---|---|
| 这组数波动大不大、两组谁更稳 | 一列数值（两组各一列） | 变异系数 CV | 无硬性门槛，但 n 小于 10 时标准差本身就不稳 |
| 两个分类变量之间有没有关联 | 两列分类 | 卡方检验 | 每格期望频数不小于 5，否则改校正或 Fisher |
| 两个数值变量是否同涨同落 | 两列数值 | 相关系数（皮尔逊 r） | n 越小临界 r 越高，30 份需 r 达 0.361 |
| 能不能用 x 去预测 y、预测误差多大 | 两列数值 | 线性回归 | 同相关系数，另需检查残差是否随机 |
| 要收多少份问卷才敢下结论 | 设计阶段，还没有数据 | 样本量计算 | 由置信水平与误差幅度反推 |
列类型判错，后面每一步都会错；表中门槛的具体口径见对应章节。
数值列和分类列怎么分
分辨办法是问一句：这列的数字能不能做加减平均，平均出来的值有意义吗。 月消费 1800 元和 2200 元平均得 2000 元，有意义，是数值列； 把「男=1、女=2」平均得 1.5，没有意义，是分类列。
设计阶段和分析阶段用的不是同一个工具
样本量计算是开题时做的事，另外三个是数据到手之后做的事。很多人把样本量当成一张 开题报告里的表格，填完就忘，等到分析阶段才发现 30 份数据撑不起任何显著结论。 这两头其实是连着的：样本量不是形式要求，它是你后面能下多强结论的上限。
- 开题阶段先把样本量定下来：按置信水平、误差幅度和预计比例算出需要多少份有效样本，并按回收率倒推要发出多少份。
- 把每一列标成数值还是分类：数据回收后第一步做列类型标注，顺序量表单独标出来，它的用法和纯分类不同。
- 按问题形态和列类型选统计量：照上面那张选型表对号入座，一个问题对应一个统计量，不要一上来就全算一遍。
- 回头核对样本量够不够支撑结论：期望频数、临界 r 都要查一遍。不达标就缩小结论范围或补样本，别硬套 p 值。
开题先定样本量：385 份是怎么来的
95% 置信水平、误差幅度 ±5 个百分点、总体比例按偏保守的 0.5 代入，算出来需要 385 份有效样本，这就是 385 的出处。 那个被到处引用的 385 不是经验数字，三个条件换一个，结果就跟着变。
公式与一步步代入
式中 z 由置信水平决定（95% 对应 1.96，99% 对应 2.576），p 是预计的总体比例，e 是允许的误差幅度。代入 95% 置信、p=0.5、e=0.05：
p 取 0.5 是因为 p(1−p) 在 0.5 处取到峰值，此时所需样本量更大。 换句话说，在对总体比例一无所知时按 0.5 算，是一个偏安全的做法； 若已有预调研显示支持率约 0.2，代入 0.2 只需约 246 份。
| 误差幅度 | 95% 置信水平 | 99% 置信水平 |
|---|---|---|
| ±3 个百分点 | 1068 份 | 1844 份 |
| ±5 个百分点 | 385 份 | 664 份 |
| ±8 个百分点 | 151 份 | 260 份 |
| ±10 个百分点 | 97 份 | 166 份 |
按 p=0.5、无限总体计算并向上取整，结果为估算。误差幅度收窄一半，样本量约变成四倍。
这张表里有个值得记住的规律：误差幅度在分母上是平方项，把误差从 ±5 个百分点收到 ±3 个百分点，样本量要从 385 涨到 1068，接近三倍。所以预算有限时，调低置信水平省下的量远不如放宽一点误差幅度来得多。
总体只有两千人，样本量能降到约 323 份
上面的公式假设总体规模无限大。当总体本身不大（一所学校、一家公司、一个小区）， 用有限总体校正可以把样本量降下来：
其中 n₀ 是未校正的样本量，N 是总体规模。总体 2000 人、n₀ 取 384.16， 校正后约 323 份；总体 500 人时，只要约 218 份。 这一步常被省略，结果是在一个几百人的总体里按 385 份去发问卷，白做了很多工作量。
一列数值：用变异系数比两组谁更稳
变异系数是标准差除以均值，把单位和量级都约掉，所以它能比较两组均值差很远的数据 谁波动更大。两组数据在同一量级、同一单位时，直接比标准差就够，不必多算这一步。
国家统计局的定义：变异系数是测度数据变异程度的相对统计量， 用于比较平均数不同的两个或多个样本数据的变异程度，是标准差与其平均值之比。
实算：标准差大的那家，波动反而小
两家门店各取连续 5 天的日营业额（单位：万元）。A 店：1.6、1.8、2.0、2.2、2.4；B 店：0.35、0.45、0.50、0.55、0.65。按样本标准差（除以 n−1）算：
| 门店 | 均值 | 样本标准差 | 变异系数 CV | 相对波动 |
|---|---|---|---|---|
| A 店 | 2.00 万元 | 约 3162 元 | 约 15.8% | 更稳 |
| B 店 | 0.50 万元 | 约 1118 元 | 约 22.4% | 波动更大 |
标准差口径为样本标准差，结果为估算并保留到小数后一位。
A 店的标准差约 3162 元，几乎是 B 店 1118 元的三倍， 但把各自的营业额体量除掉之后，A 店的相对波动反而更小。这就是变异系数存在的理由：绝对波动受体量左右，相对波动才可比。在比较不同规模门店的经营稳定性、不同量程仪器的测量重复性（化学分析里常叫 相对标准偏差 RSD）时，都是同一个道理。
哪些数据不要用变异系数
两列分类：卡方检验先过期望频数
两列都是分类变量（性别、是否付费、城市等级）时用卡方检验， 但动手前要先确认每个格子的期望频数都不小于 5。这一条是卡方近似成立的前提， 不是可选的建议。
四格表实算：期望频数、χ² 与 p 值
假设回收 200 份有效问卷，问「是否愿意为会员付费」，按性别分组后得到这张四格表： 男性 100 人中愿意 60 人、不愿意 40 人；女性 100 人中愿意 45 人、不愿意 55 人。 期望频数按「行合计 × 列合计 ÷ 总计」算：
四格期望频数都不小于 5，门槛通过。再按定义式求 χ²：
| 指标 | 不做连续性校正 | 做 Yates 连续性校正 |
|---|---|---|
| χ² 值 | 约 4.51 | 约 3.93 |
| 自由度 df | 1 | 1 |
| 0.05 临界值 | 3.841 | 3.841 |
| 双尾 p 值 | 约 0.034 | 约 0.047 |
| 结论 | 差异显著 | 差异显著，但很勉强 |
同一张四格表，校正与否的 p 值分别落在 0.05 两侧附近，结果为估算。
Yates 校正会让 p 从约 0.034 变到约 0.047
这是本题里很值得留意的一处：同一批数据，只因为是否做连续性校正，p 值就从约 0.034 挪到约 0.047，一个看着稳当、一个贴着 0.05 的线。四格表的卡方近似在格子频数不大时会偏乐观， Yates 校正就是把这份乐观扣回去，公式里把每个 |观测 − 期望| 先减 0.5 再平方。
所以报告里写「p<0.05，性别与付费意愿有关」之前，先说清用的是哪种算法。 期望频数的处理口径通常是这样分的：
- 四格全部期望频数 ≥5 且总频数 ≥40
- 直接用不校正的卡方。
- 有格子期望频数在 1 到 5 之间，总频数 ≥40
- 用 Yates 连续性校正的卡方。
- 有格子期望频数 <1，或总频数 <40
- 不用卡方，改 Fisher 确切概率法。
- 更大的列联表，期望频数 <5 的格子超过两成
- 合并意义相近的类别后重算。
- 同一批人前后两次测量的配对设计
- 独立性卡方不适用，改 McNemar 检验。
- 显著之后还要回答关联有多强
- 补算克拉默 V 等效应量，卡方值本身随样本量放大。
两列数值：相关系数要和样本量一起看
同一个 r 值在不同样本量下结论会相反：r=0.30 在 30 份样本里判不显著， 在 50 份样本里就算显著。所以相关系数不能单独看数值大小。
临界 r 对照表：样本量越小，门槛越高
皮尔逊相关系数的显著性通过 t 统计量判定，自由度 df = n − 2。 下表是双尾 0.05 水平下，各样本量对应的临界 |r|：
| 样本量 n | 自由度 df | 0.05 显著所需 |r| | r=0.30 时的结论 |
|---|---|---|---|
| 10 | 8 | 0.632 | 不显著 |
| 20 | 18 | 0.444 | 不显著 |
| 30 | 28 | 0.361 | 不显著 |
| 50 | 48 | 0.279 | 显著 |
| 100 | 98 | 0.197 | 显著 |
| 200 | 198 | 0.139 | 显著 |
按双尾 0.05 水平由 t 分布换算，数值保留三位小数，结果为估算。
这张表能解释一个常见困惑：预调研发了 20 份，算出 r=0.40 看着不低， 却被审稿人指出不显著——因为 20 份的门槛是 0.444。样本量不足时，真实存在的关系也可能检不出来。这正是前面那句「样本量是结论强度的上限」的具体含义。
r 显著之后再看 r² 和回归
显著解决的是「这个关系是不是抽样波动造成的」，强弱要看决定系数 r²：
r=0.30 在 100 份样本里显著，但只解释约 9% 的变异，剩下九成以上由别的因素决定。 报告里把 r、r² 和 n 三个数一起给出来，读者才判断得了这个结论值多少分量。 如果接下来要用一个变量去预测另一个（比如用月消费预测续费概率）， 就从相关走到回归，看回归系数和残差。
容易把结论算歪的四个地方
调研数据出错多半不在公式，而在样本量不足、列类型用错、把显著当成关联强、 以及把相关当成因果这四处。公式有计算器兜着，这四处只能靠人判断。
- 样本量不足就下强结论
- 30 份数据的临界 r 是 0.361，期望频数也容易破 5。样本撑不住时把结论写成「初步观察」而不是「证明」。
- 把类别编号当数值算
- 「男=1、女=2」算出的皮尔逊 r 没有意义。分类列只进频数方法。
- 只报 p 值不报效应量
- 卡方值随样本量等比放大。p 值回答有没有，克拉默 V 和 r² 回答有多强，两者都要给。
- 在均值接近 0 的数据上用变异系数
- 收益率、净利润、温差这类数据的 CV 会被放大甚至变号，改用标准差或四分位距。
- 口径中途换了也不记录
- 样本标准差（除以 n−1）和总体标准差（除以 n）算出的 CV 不同，全文要统一并在方法里写明。
- 把相关写成因果
- 一张问卷表算出的 r 定不了因果方向，报告里用「呈正相关」而非「导致」。
按「先定样本量 → 标注列类型 → 对号选统计量 → 回头核对门槛」这四步走一遍， 把你表里的数字分别填进样本量计算器、变异系数计算器、卡方检验计算器和相关系数计算器， 每一步的结论能不能下，当场就看得出来。
常见问题
- 问卷调查要发多少份才够，385 份样本量是怎么算出来的？
- 385 份对应的条件是：95% 置信水平、误差幅度 ±5 个百分点、总体比例未知时按偏保守的 0.5 代入。把 z=1.96、p=0.5、e=0.05 代进 n = z²p(1−p)/e²，得到 384.16，向上取整就是 385 份有效样本。要注意这是「有效样本」而不是「发出份数」，按七成左右的有效回收率倒推，实际要发出约 550 份。如果总体本身不大（例如全校 2000 人），再做有限总体校正可以降到约 323 份。具体数字用样本量计算器按你的置信水平和误差幅度算一遍更稳。
- 变异系数和标准差有什么区别，什么时候该用变异系数？
- 标准差带单位、看的是绝对波动；变异系数是标准差除以均值，无量纲，看的是相对波动。两组数据均值差很远时，标准差没法直接比大小，这时候才需要变异系数。举个例子：A 店日营业额均值 2 万元、标准差约 3162 元，B 店均值 0.5 万元、标准差约 1118 元。A 店标准差大得多，但变异系数 15.8% 小于 B 店的 22.4%，相对而言 A 店经营更稳。同一量级、同一单位的数据直接比标准差就够，不必多算一步。
- 相关系数 r 要多大才算显著，和样本量有关系吗？
- 关系很大，样本量越小，显著所需的 r 越高。双尾 0.05 水平下，10 份数据要 |r| 达到 0.632，20 份要 0.444，30 份要 0.361，50 份只要 0.279，100 份要 0.197，200 份要 0.139。所以同一个 r=0.30，在 30 份样本里判不显著，在 50 份样本里就成了显著结果。这也说明显著性不等于关联强度：r=0.30 的决定系数 r² 只有 0.09，意思是只解释了约 9% 的变异。判读时要把 r、r² 和样本量三个数一起报。
- 卡方检验的期望频数小于 5 怎么办，还能用卡方吗？
- 先看小于 5 的格子占多少。通行口径是：期望频数都不小于 5 时直接用卡方；四格表里有格子落在 1 到 5 之间、且总频数不小于 40 时，改用连续性校正的卡方；有格子期望频数小于 1，或总频数小于 40，就不再用卡方，换 Fisher 确切概率法。更大的列联表若期望频数小于 5 的格子超过两成，常见做法是合并意义相近的类别再算。注意期望频数是算出来的理论值，不是你表里的实际人数，用卡方检验计算器时它会一并给出来，别拿观测频数去对这条门槛。
- 问卷里性别和付费意愿的关联，卡方检验和相关系数怎么选？
- 性别和付费意愿都是分类变量，选卡方检验。相关系数（皮尔逊 r）要求两列都是数值型的连续数据，把「男=1、女=2」这种编号丢进去算出来的 r 没有意义，因为类别编号的大小关系是人为指定的。判断规则很简单：两列分类看卡方，两列数值看皮尔逊 r，一列数值一列有序等级可以考虑斯皮尔曼秩相关。另外卡方只回答「有没有关联」，关联强弱要再算克拉默 V 等效应量。
- 变异系数算出来是负数或者特别大，是数据错了吗？
- 不一定是录入错，更可能是这组数据不适合用变异系数。变异系数的分母是均值，它要求数据是同向的正值（营业额、身高、工时、价格）。出现负数，说明均值为负，比值的正负号已经失去「波动大小」的含义；数值特别大（比如几百以上），往往是均值接近 0 把比值放大了。收益率、净利润、温差、温度这类可正可负、零点由人定义的数据，都不要用变异系数，改用标准差或四分位距描述离散程度。
- 相关系数显著就说明两个变量有因果关系吗？
- 不能这么推。显著只表示在当前样本量下，这么强的线性关系不太可能纯由抽样波动造成，它不区分因果方向，也排不掉第三个变量的影响。常见的情况是「冰淇淋销量和溺水人数正相关」，真正起作用的是气温。要往因果上走，需要时间先后、控制混杂变量的设计或实验分组，单靠一张问卷表算出的 r 办不到。写报告时用「与……呈正相关」这类表述，比写「导致」稳妥。