四分位数怎么算？Q1、Q3 的位置公式是什么？

先把数据从小到大排序，再按位置公式取数。教材法（人教A版百分位数口径）用位置 i = n × p，p 对 Q1 取 0.25、Q2 取 0.5、Q3 取 0.75：i 不是整数就取第 ⌈i⌉ 项，i 是整数就取第 i 项与第 i+1 项的平均。以 5, 7, 9, 12, 18, 22, 25, 30 这 8 个数为例，i₂₅ = 8 × 0.25 = 2 是整数，Q1 = (7+9)÷2 = 8；i₅₀ = 4，Q2 = (12+18)÷2 = 15；i₇₅ = 6，Q3 = (22+25)÷2 = 23.5。Excel 的 QUARTILE.INC 换一套位置公式 h = 1 + (n−1) × p，落在两项之间时按小数部分线性插值。本工具会把每一步的位置和取到第几项写在「位置计算过程」里。

为什么课本算的四分位数和 Excel QUARTILE.INC 不一样？该用哪个？

因为两者用的位置公式不同，这是定义差异，不是谁算错了。以 2, 4, 6, 9, 12, 15, 20 这 7 个数为例：教材法 i₂₅ = 1.75，向上取整取第 2 项，Q1 = 4；i₇₅ = 5.25 取第 6 项，Q3 = 15，IQR = 11。Excel QUARTILE.INC 的 h₂₅ = 1 + 6×0.25 = 2.5，在第 2、3 项之间插值，Q1 = 4 + 0.5×(6−4) = 5；h₇₅ = 5.5，Q3 = 12 + 0.5×(15−12) = 13.5，IQR = 8.5。两套定义的 Q2（中位数）都是 9，差别只出现在 Q1 与 Q3。该用哪个取决于你要对齐谁：写数学作业按老师给的教材口径，跟 Excel、Python（numpy/pandas 默认）、R（type 7）对答案就选 QUARTILE.INC，统计学教材里的箱线图习题常用中位数分半法。本工具三套并排，切换即可对照。

四分位距 IQR 怎么算？1.5 倍 IQR 判离群点是怎么来的？

四分位距 IQR = Q3 − Q1，也就是中间 50% 数据的跨度。它只由 Q1 与 Q3 决定，数据量够多时改动少数极端值一般不会明显改变它，因此通常比极差稳健；但样本很小时（例如只有 3、9 两个数，教材法 Q1 = 3、Q3 = 9）Q1、Q3 本身就是最小值和最大值，这时 IQR 同样会被极值左右。1.5 倍 IQR 的规则出自 Tukey 的《探索性数据分析》：下栅栏 = Q1 − 1.5×IQR、上栅栏 = Q3 + 1.5×IQR，落在这两条线之外的点标出来单独看。例如 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 60 按分半法 Q1 = 4、Q3 = 14，IQR = 10，上栅栏 = 14 + 15 = 29，于是 60 被标出来。判定用严格不等式：正好等于栅栏的点算栅栏内。要强调的是，栅栏外只说明这个点离主体较远、值得看一眼，不等于数据填错，也不建议直接删掉——它可能就是真实的极值。

箱线图的五个数分别是什么？箱子上下边和须线端点各代表什么？

箱线图五数概括是最小值、Q1、Q2（中位数）、Q3、最大值。箱子的下边是 Q1、上边是 Q3，箱子高度就是四分位距 IQR，箱中那条线是中位数 Q2。须线端点不是直接画到最大最小值：标准画法取仍落在 1.5 倍 IQR 栅栏内的最极端观测值，栅栏外的点单独画成散点。以 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 60（分半法）为例，五数是 1 / 4 / 9 / 14 / 60，上栅栏 29，所以上须端点是 15 而不是 60，60 单独标为栅栏外的点。本工具直接给出这五个数与上下须端点，可照着手画或填进作图软件。

四分位数最少需要几个数据？数据全部相同时 IQR 是 0 吗？

最少 2 个数：本工具三套定义都从 2 个数起算，少于 2 个数会直接提示——只有 1 个数时 Q1、Q2、Q3 都等于它本身，没有任何分位意义，分半法更是分不出上下半。数据少于 4 个时结果区会提示参考价值有限，因为此时每个数都直接决定一个四分位数。若数据全部相同（如 4, 4, 4, 4），Q1 = Q2 = Q3 = 4，IQR = 0，上下栅栏都收缩到这个值，没有任何点被标为栅栏外，说明数据没有波动，这是正常结果而不是报错。样本太少时 IQR 与栅栏的参考价值有限，可再补些数据，或直接用极差和排序明细描述这组数。

四分位距 IQR 和标准差都能看离散程度，该用哪个？

看数据里有没有极端值。标准差和方差把每个数与平均数的偏差都算进去，一个特别大的值会明显把它们拉高；四分位距 IQR 只看中间 50% 数据的跨度，改动少数极端值通常不会明显改变它，所以被称为稳健的离散度量（样本很少时这一优势会减弱）。经验做法是：数据大致对称、没有明显极端值时用平均数配标准差；数据偏斜或含极端值（收入、房价、响应时间等）时用中位数配 IQR，并用箱线图展示。识别离群点也有两条路线：本工具走 1.5 倍 IQR 栅栏法，另一条是标准分 |z| > 3，后者依赖平均数和标准差，本身就会被极端值影响。可配合方差计算器、标准差计算器与标准分计算器一起看。

四分位数和百分位数是什么关系？P25 就是 Q1 吗？

四分位数是百分位数里最常用的三个切点：Q1 对应第 25 百分位（P25），Q2 对应第 50 百分位（P50，也就是中位数），Q3 对应第 75 百分位（P75）。所以在同一套位置规则下，P25 就是 Q1、P75 就是 Q3，说法不同而已。要注意的是，「同一套位置规则」是前提：教材法用 i = n × p，Excel QUARTILE.INC 用 h = 1 + (n−1) × p，同一组数据算出的 P25 数值会不一样，跨软件对答案时要先确认口径。百分位数还可以取 P10、P90 等任意切点（如体检报告、身高体重百分位），而四分位数固定只取 25%、50%、75% 三个位置，配上四分位距 IQR 与箱线图，正好描述数据主体的位置和跨度。

Excel 里的 QUARTILE.INC 和 QUARTILE.EXC 有什么区别？本工具对应哪一个？

两者是 Excel（WPS 同名函数同理）里两套不同的分位位置规则，同一组数据算出的 Q1、Q3 可能不同：QUARTILE.INC 把首尾两个观测值也算作可取的分位位置，取值范围覆盖 0 到 1；QUARTILE.EXC 则把两端排除在外，样本量太小时会直接返回错误值。本工具的「Excel QUARTILE.INC」一档只对齐 INC 这一套（它同时等价于 R quantile 的 type 7 与 numpy/pandas 的默认插值），不提供也不声称等价于 QUARTILE.EXC、R type 6 或 Tukey hinges。因此拿本页结果和 Excel 对答案时，请确认表格里用的是 QUARTILE.INC；若同事用的是 QUARTILE.EXC，Q1、Q3 对不上属于定义差异，不是计算错误。

四分位数计算器

在线四分位数计算器会自动排序并按你选的定义算出 Q1、Q2、Q3、四分位距 IQR、箱线图五数与 1.5 倍 IQR 栅栏外的点；教材法、Excel QUARTILE.INC、中位数分半法三套口径并排可切，全部在浏览器本地计算。

数据集

支持逗号、空格、换行分隔；可填小数与负数。共识别 8 个数，至少需要 2 个。

四分位数定义

人教A版百分位数口径：位置 i = n × p；i 不是整数就取第 ⌈i⌉ 项，i 是整数就取第 i、i+1 两项的平均。

下四分位数 Q1 / 中位数 Q2 / 上四分位数 Q3

Q1 8 · Q2 15 · Q3 23.5

四分位距 IQR = Q3 − Q1 = 15.5

数据个数 (n)8

四分位距 IQR15.5

箱线图五数（min / Q1 / Q2 / Q3 / max）5 / 8 / 15 / 23.5 / 30

下栅栏（Q1 − 1.5×IQR）-15.25

上栅栏（Q3 + 1.5×IQR）46.75

栅栏外的点无

箱线图下须端点5

箱线图上须端点30

最小值5

最大值30

极差（max − min）25

位置计算过程

下四分位数 Q1 = 8：i = 8 × 0.25 = 2（整数） → 取第 2、3 两项的平均
中位数 Q2 = 15：i = 8 × 0.5 = 4（整数） → 取第 4、5 两项的平均
上四分位数 Q3 = 23.5：i = 8 × 0.75 = 6（整数） → 取第 6、7 两项的平均

升序排列：5、7、9、12、18、22、25、30

当前口径：教材法。人教A版百分位数口径：位置 i = n × p；i 不是整数就取第 ⌈i⌉ 项，i 是整数就取第 i、i+1 两项的平均。换一套定义 Q1 与 Q3 会变，Q2（中位数）三套定义都一样。

本页只覆盖上面三套定义，未覆盖 Excel QUARTILE.EXC、R quantile type 6 与 Tukey hinges（把中位数同时留在上下两半），也不声称本页任一方法与它们等价。和某个软件对不上时，先确认它用的是哪套定义。

栅栏外的点只表示「按 1.5 倍四分位距看，它离主体比较远，值得看一眼」，不等于数据填错，也不建议自动删除——它可能就是真实的极值。

数据少于 4 个时四分位数的参考价值有限；Q1、Q2、Q3、IQR 与栅栏都与原数据同单位，本页不做单位换算。

怎么用

粘贴或输入这组数据：在「数据集」框里填入一组数字，用逗号、空格或换行分隔均可，例如 12, 5, 22, 30, 7, 18, 9, 25。不用先排序，工具会自动升序排列；支持小数、负数与重复值，从 Excel 一列直接复制粘贴也能识别。至少要填 2 个数。
选一套四分位数定义：在「四分位数定义」里三选一：教材法（人教A版位置公式 i = n×p）、Excel QUARTILE.INC（等同 R type 7 与 numpy/pandas 默认）、中位数分半法（Moore–McCabe，奇数个时上下两半各排除中位数）。切换定义不会清空数据，会立即按新口径重算。要跟哪份作业或哪个软件对答案，就选它用的那一套。
读 Q1、Q2、Q3 与四分位距：顶部大字并排给出下四分位数 Q1、中位数 Q2、上四分位数 Q3，下方给出四分位距 IQR = Q3 − Q1。「位置计算过程」逐条写出每个四分位数的位置怎么算、取了第几项，抄作业步骤时可以直接照写。
看五数、栅栏与栅栏外的点：结果区给出箱线图五数（最小值 / Q1 / Q2 / Q3 / 最大值）、上下栅栏（Q1 − 1.5×IQR 与 Q3 + 1.5×IQR）、栅栏外的点，以及箱线图上下须的端点。须端点取的是仍落在栅栏内的最极端观测值，正好等于栅栏的点算栅栏内，不列为栅栏外的点。

核心要点

把 5, 7, 9, 12, 18, 22, 25, 30 这 8 个数代进去，按教材法 Q1 = 8、Q2 = 15、Q3 = 23.5，四分位距 IQR = 23.5 − 8 = 15.5；上下栅栏是 −15.25 与 46.75，没有点落在栅栏外，箱线图五数为 5 / 8 / 15 / 23.5 / 30。

Q1、Q3 把排序后的数据按个数四等分，Q2 就是中位数，三者与原数据同单位。
四分位距 IQR = Q3 − Q1，衡量中间 50% 数据的跨度；数据量够多时通常比极差稳健，样本只有两三个数时 Q1、Q3 可能就落在最小值与最大值上。
教材法、Excel QUARTILE.INC、中位数分半法三套定义的 Q1/Q3 会不一样，Q2 都相同；本页并排可切换。
栅栏 = Q1 − 1.5×IQR 与 Q3 + 1.5×IQR，栅栏外的点只是「值得看一眼」，不等于数据有错。

原理与公式

四分位数把升序排列后的数据按个数分成四份：下四分位数 Q1（第 25 百分位）、中位数 Q2（第 50 百分位）、上四分位数 Q3（第 75 百分位）。大约 25% 的数据小于 Q1，约 50% 小于 Q2，约 75% 小于 Q3。与只看两个端点的极差不同，四分位数描述的是数据主体的位置与跨度。

三套位置规则（本页全部算出，可并排切换）

记升序后的数据为 x₍₁₎ … x₍ₙ₎，p 对 Q1 取 0.25、Q2 取 0.5、Q3 取 0.75。三套主流定义的差别只在「位置怎么取」：
① 教材法（人教A版百分位数口径）：i = n × p；i 不是整数 → 取第 ⌈i⌉ 项；i 是整数 → 取第 i、i+1 两项的平均。
② Excel QUARTILE.INC（= R quantile type 7 = numpy/pandas 默认 linear）：h = 1 + (n − 1) × p；Q = x₍⌊h⌋₎ + (h − ⌊h⌋) × (x₍⌊h⌋₊₁₎ − x₍⌊h⌋₎)，即在相邻两项之间线性插值。
③ 中位数分半法（Moore–McCabe）：Q2 取整组数据的中位数；n 为奇数时上下两半各排除中位数那一项，n 为偶数时对半切；Q1 = 下半的中位数，Q3 = 上半的中位数。

三套定义算出的 Q2 完全相同（都等于中位数，可与中位数众数计算器互相验证），差别只出现在 Q1 与 Q3，进而影响 IQR 与栅栏。本页未覆盖 Excel QUARTILE.EXC、R quantile type 6 与 Tukey hinges（把中位数同时保留在上下两半），也不声称本页任一方法与它们等价。

四分位距、栅栏与箱线图五数

IQR = Q3 − Q1
下栅栏 LF = Q1 − 1.5 × IQR
上栅栏 UF = Q3 + 1.5 × IQR
栅栏外的点：x < LF 或 x > UF（严格不等式，正好等于栅栏算栅栏内）
箱线图五数 = 最小值, Q1, Q2, Q3, 最大值
上须端点 = 不超过 UF 的最大观测值；下须端点 = 不小于 LF 的最小观测值
1.5 这个系数出自 Tukey 的《探索性数据分析》，是公认口径，本页固定不做输入项——可调的系数会让「栅栏外」失去统一含义。

三个算例

算例一（教材法，n = 8，i 为整数）：输入 12, 5, 22, 30, 7, 18, 9, 25，升序为 5, 7, 9, 12, 18, 22, 25, 30。
i₂₅ = 8 × 0.25 = 2（整数）→ Q1 = (7+9)/2 = 8
i₅₀ = 4 → Q2 = (12+18)/2 = 15；i₇₅ = 6 → Q3 = (22+25)/2 = 23.5
IQR = 15.5，LF = −15.25，UF = 46.75，无点落在栅栏外，须端点 5 与 30，五数 5 / 8 / 15 / 23.5 / 30，极差 25。

算例二（同一组数，教材法 vs Excel）：输入 2, 4, 6, 9, 12, 15, 20（n = 7）。
Excel INC：h₂₅ = 2.5 → Q1 = 4 + 0.5×(6−4) = 5；h₅₀ = 4 → Q2 = 9；h₇₅ = 5.5 → Q3 = 12 + 0.5×(15−12) = 13.5，IQR = 8.5
教材法：i₂₅ = 1.75 → 第 2 项 = 4；Q2 = 9；i₇₅ = 5.25 → 第 6 项 = 15，IQR = 11
这就是「课本和 Excel 对不上」的全部原因：Q2 一致，Q1 与 Q3 因定义不同而不同。

算例三（分半法，n = 9，含栅栏外的点）：输入 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 60。
Q2 = x₍₅₎ = 9；下半 1,3,5,7 → Q1 = (3+5)/2 = 4；上半 11,13,15,60 → Q3 = (13+15)/2 = 14
IQR = 10，LF = −11，UF = 29 → 60 落在栅栏外，上须端点 15、下须端点 1，五数 1 / 4 / 9 / 14 / 60。注意最大值 60 仍然出现在五数里，只是箱线图上会画成单独的散点。

什么时候用四分位数，什么时候用标准差

四分位距属于稳健的离散度量，只看中间 50% 的跨度，极端值再大也拉不动它；方差与标准差把每个偏差都算进去，对极端值敏感。数据大致对称时用平均数配标准差，数据偏斜或含极端值时用中位数配 IQR。识别离群点同理：本页走 1.5 倍 IQR 栅栏法，标准分计算器走 |z| > 3 的另一条路线，后者本身依赖平均数与标准差。本页只做分位与栅栏，不输出方差与标准差。

精度：内部以高精度十进制运算，规避原生浮点误差（0.1 + 0.2 = 0.3），IQR 由未舍入的 Q3 − Q1 一次算出，栅栏与栅栏外点的判定也在未舍入的数值上进行。展示精度不等于计算精度——Q1/Q2/Q3、IQR、栅栏、极差这类「算出来」的量按可读性保留最多 6 位小数并去掉多余的零；最小值、最大值、须端点、栅栏外的点与排序明细是数据本身的原值，按你输入的完整精度显示，因此 1.0000001 与 1.0000002 不会被并成同一个数。数据超过 200 个时只省略排序明细，统计量仍按全部数据计算。所有计算都在你的浏览器本地完成，不联网、不上传数据。

常见问题

四分位数怎么算？Q1、Q3 的位置公式是什么？: 先把数据从小到大排序，再按位置公式取数。教材法（人教A版百分位数口径）用位置 i = n × p，p 对 Q1 取 0.25、Q2 取 0.5、Q3 取 0.75：i 不是整数就取第 ⌈i⌉ 项，i 是整数就取第 i 项与第 i+1 项的平均。以 5, 7, 9, 12, 18, 22, 25, 30 这 8 个数为例，i₂₅ = 8 × 0.25 = 2 是整数，Q1 = (7+9)÷2 = 8；i₅₀ = 4，Q2 = (12+18)÷2 = 15；i₇₅ = 6，Q3 = (22+25)÷2 = 23.5。Excel 的 QUARTILE.INC 换一套位置公式 h = 1 + (n−1) × p，落在两项之间时按小数部分线性插值。本工具会把每一步的位置和取到第几项写在「位置计算过程」里。
为什么课本算的四分位数和 Excel QUARTILE.INC 不一样？该用哪个？: 因为两者用的位置公式不同，这是定义差异，不是谁算错了。以 2, 4, 6, 9, 12, 15, 20 这 7 个数为例：教材法 i₂₅ = 1.75，向上取整取第 2 项，Q1 = 4；i₇₅ = 5.25 取第 6 项，Q3 = 15，IQR = 11。Excel QUARTILE.INC 的 h₂₅ = 1 + 6×0.25 = 2.5，在第 2、3 项之间插值，Q1 = 4 + 0.5×(6−4) = 5；h₇₅ = 5.5，Q3 = 12 + 0.5×(15−12) = 13.5，IQR = 8.5。两套定义的 Q2（中位数）都是 9，差别只出现在 Q1 与 Q3。该用哪个取决于你要对齐谁：写数学作业按老师给的教材口径，跟 Excel、Python（numpy/pandas 默认）、R（type 7）对答案就选 QUARTILE.INC，统计学教材里的箱线图习题常用中位数分半法。本工具三套并排，切换即可对照。
四分位距 IQR 怎么算？1.5 倍 IQR 判离群点是怎么来的？: 四分位距 IQR = Q3 − Q1，也就是中间 50% 数据的跨度。它只由 Q1 与 Q3 决定，数据量够多时改动少数极端值一般不会明显改变它，因此通常比极差稳健；但样本很小时（例如只有 3、9 两个数，教材法 Q1 = 3、Q3 = 9）Q1、Q3 本身就是最小值和最大值，这时 IQR 同样会被极值左右。1.5 倍 IQR 的规则出自 Tukey 的《探索性数据分析》：下栅栏 = Q1 − 1.5×IQR、上栅栏 = Q3 + 1.5×IQR，落在这两条线之外的点标出来单独看。例如 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 60 按分半法 Q1 = 4、Q3 = 14，IQR = 10，上栅栏 = 14 + 15 = 29，于是 60 被标出来。判定用严格不等式：正好等于栅栏的点算栅栏内。要强调的是，栅栏外只说明这个点离主体较远、值得看一眼，不等于数据填错，也不建议直接删掉——它可能就是真实的极值。
箱线图的五个数分别是什么？箱子上下边和须线端点各代表什么？: 箱线图五数概括是最小值、Q1、Q2（中位数）、Q3、最大值。箱子的下边是 Q1、上边是 Q3，箱子高度就是四分位距 IQR，箱中那条线是中位数 Q2。须线端点不是直接画到最大最小值：标准画法取仍落在 1.5 倍 IQR 栅栏内的最极端观测值，栅栏外的点单独画成散点。以 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 60（分半法）为例，五数是 1 / 4 / 9 / 14 / 60，上栅栏 29，所以上须端点是 15 而不是 60，60 单独标为栅栏外的点。本工具直接给出这五个数与上下须端点，可照着手画或填进作图软件。
四分位数最少需要几个数据？数据全部相同时 IQR 是 0 吗？: 最少 2 个数：本工具三套定义都从 2 个数起算，少于 2 个数会直接提示——只有 1 个数时 Q1、Q2、Q3 都等于它本身，没有任何分位意义，分半法更是分不出上下半。数据少于 4 个时结果区会提示参考价值有限，因为此时每个数都直接决定一个四分位数。若数据全部相同（如 4, 4, 4, 4），Q1 = Q2 = Q3 = 4，IQR = 0，上下栅栏都收缩到这个值，没有任何点被标为栅栏外，说明数据没有波动，这是正常结果而不是报错。样本太少时 IQR 与栅栏的参考价值有限，可再补些数据，或直接用极差和排序明细描述这组数。
四分位距 IQR 和标准差都能看离散程度，该用哪个？: 看数据里有没有极端值。标准差和方差把每个数与平均数的偏差都算进去，一个特别大的值会明显把它们拉高；四分位距 IQR 只看中间 50% 数据的跨度，改动少数极端值通常不会明显改变它，所以被称为稳健的离散度量（样本很少时这一优势会减弱）。经验做法是：数据大致对称、没有明显极端值时用平均数配标准差；数据偏斜或含极端值（收入、房价、响应时间等）时用中位数配 IQR，并用箱线图展示。识别离群点也有两条路线：本工具走 1.5 倍 IQR 栅栏法，另一条是标准分 |z| > 3，后者依赖平均数和标准差，本身就会被极端值影响。可配合方差计算器、标准差计算器与标准分计算器一起看。
四分位数和百分位数是什么关系？P25 就是 Q1 吗？: 四分位数是百分位数里最常用的三个切点：Q1 对应第 25 百分位（P25），Q2 对应第 50 百分位（P50，也就是中位数），Q3 对应第 75 百分位（P75）。所以在同一套位置规则下，P25 就是 Q1、P75 就是 Q3，说法不同而已。要注意的是，「同一套位置规则」是前提：教材法用 i = n × p，Excel QUARTILE.INC 用 h = 1 + (n−1) × p，同一组数据算出的 P25 数值会不一样，跨软件对答案时要先确认口径。百分位数还可以取 P10、P90 等任意切点（如体检报告、身高体重百分位），而四分位数固定只取 25%、50%、75% 三个位置，配上四分位距 IQR 与箱线图，正好描述数据主体的位置和跨度。
Excel 里的 QUARTILE.INC 和 QUARTILE.EXC 有什么区别？本工具对应哪一个？: 两者是 Excel（WPS 同名函数同理）里两套不同的分位位置规则，同一组数据算出的 Q1、Q3 可能不同：QUARTILE.INC 把首尾两个观测值也算作可取的分位位置，取值范围覆盖 0 到 1；QUARTILE.EXC 则把两端排除在外，样本量太小时会直接返回错误值。本工具的「Excel QUARTILE.INC」一档只对齐 INC 这一套（它同时等价于 R quantile 的 type 7 与 numpy/pandas 的默认插值），不提供也不声称等价于 QUARTILE.EXC、R type 6 或 Tukey hinges。因此拿本页结果和 Excel 对答案时，请确认表格里用的是 QUARTILE.INC；若同事用的是 QUARTILE.EXC，Q1、Q3 对不上属于定义差异，不是计算错误。

怎么用